From 0bab0fb9b74d7954edca24f4587285f345ac20b3 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "Li, Amazing Ang" <d0u.gie@hotmail.com>
Date: Tue, 19 Dec 2023 12:42:23 +0800
Subject: [PATCH] update 10 euler theorem

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 10_Euler/readme.md   | 209 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
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@@ -0,0 +1,87 @@
+{
+ "cells": [
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 30,
+   "id": "0984cdd3",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [
+    {
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+     "output_type": "stream",
+     "text": [
+      "欧拉函数 phi(15): 8\n",
+      "欧拉定理: 7^phi(15) mod 15 = 1\n"
+     ]
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "def gcd(a, b):\n",
+    "    while b:\n",
+    "        a, b = b, a % b\n",
+    "    return a\n",
+    "\n",
+    "def euler_phi(n):\n",
+    "    count = 0\n",
+    "    for i in range(1, n + 1):\n",
+    "        if gcd(n, i) == 1:\n",
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+    "    return count\n",
+    "\n",
+    "def euler_theorem(a, n):\n",
+    "    if gcd(a, n) != 1:\n",
+    "        raise ValueError(\"a and n must be coprime for Euler's theorem.\")\n",
+    "    \n",
+    "    result = pow(a, euler_phi(n), n)\n",
+    "    return result\n",
+    "\n",
+    "# 示例\n",
+    "n = 15\n",
+    "print(f\"欧拉函数 phi({n}): {euler_phi(n)}\")\n",
+    "# 欧拉函数 phi(15): 8\n",
+    "\n",
+    "a = 7\n",
+    "result = euler_theorem(a, n)\n",
+    "print(f\"欧拉定理: {a}^phi({n}) mod {n} = {result}\")\n",
+    "# 欧拉定理: 7^phi(15) mod 15 = 1\n"
+   ]
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+  {
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+   "cell_type": "code",
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+   "outputs": [],
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+ ],
+ "metadata": {
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diff --git a/10_Euler/readme.md b/10_Euler/readme.md
new file mode 100644
index 0000000..9e5736b
--- /dev/null
+++ b/10_Euler/readme.md
@@ -0,0 +1,209 @@
+---
+title: 10. 欧拉定理
+tags:
+  - zk
+  - basic
+  - euler's theorem
+  - rsa 
+---
+
+# WTF zk教程第10讲：欧拉定理
+
+欧拉定理是数论中的基本定理，表明在模运算中，对于任意整数与模数互质的情况下，该整数的欧拉函数次幂与模数同余于1，为RSA等加密算法提供了数学基础。这一讲，我们将介绍离散对数问题，单元阶，以及欧拉定理。
+
+## 1. 离散对数问题
+
+离散数学问题（Discrete Logarithm Problem）是数学和密码学中的一个经典难题，其实就是说模运算求对数非常难。
+
+给定素数 $p$，以及整数 $g, h \in \mathbb{Z}_n^*$，要求找到整数$x$，使得:
+
+$$
+g^x \equiv h \pmod{p}
+$$
+
+举个例子，对于 $(p, g, h) = (7, 3, 6)$，求满足等式 $3^x \equiv 6 \pmod{7}$ 的 $x$。我们尝试用穷举法来解决它：
+
+$$
+3^1 \equiv 3 \pmod{7}
+$$
+
+$$
+3^2 \equiv 2 \pmod{7}
+$$
+
+$$
+3^3 \equiv 6 \pmod{7}
+$$
+
+因此， $x = 3$ 满足条件。
+
+但是对于更大的素数，计算离散对数非常难，比如 $(p, g, h) = (104729, 5, 3375)$ 就很难。而RSA加密算法和椭圆曲线密码系统的安全性就是由离散对数问题保障的，会选取更大更难计算的参数。
+
+
+## 2. 单元阶
+
+设 $a \in \mathbb{Z}_n$，能让 $a^k \equiv 1 \pmod{n}$ 的最小整数 $k$ 被称为单元 $a$ 的阶。
+
+举个例子：
+
+当模 $n = 5$， $a = 2$ 时，有：
+
+$$
+2^1 = 2 \pmod{5}
+$$
+
+$$
+2^2 = 4 \pmod{5}
+$$
+
+$$
+2^3 = 8 = 3 \pmod{5}
+$$
+
+$$
+2^4 = 16 = 1 \pmod{5}
+$$
+
+因此 $a$ 的阶为 $4$。单元的阶很重要，因为它刻画了单元集的循环性质。我们可以看到 $2^5 = 2 \cdot 2^4 = 2 \cdot 1 = 2 \pmod{5}$，落入了下一个 $\set{2, 4, 3, 1}$ 循环中。
+
+### 2.1 阶的性质
+
+在数论中，阶（order）是一个重要的概念，表示一个元素与模数之间的循环性质。以下是数论中阶的一些重要性质：
+
+#### 1. 如果 $a$ 的阶为 $k$，那么 $a^j \equiv 1 \pmod{n}$ 当且仅当 $k$ 整除 $j$。
+
+继续使用上面的例子， $a=2, n =5$， $a$ 的阶为 $4$，有 $2^8 \equiv 256 \equiv 1 \pmod{5}$， $4$ 能整除 $8$。
+
+<details><summary>点我展开证明 👀</summary>
+
+首先，我们先把 $j$ 用 $k$ 表示。根据欧几里得除法，有
+
+$$
+j = qk + r
+$$
+
+其中 $0 \ge r < k$。然后将它代入原式，有
+
+$$
+a^j = a^{qk+r} = a^{qk}a^r = (a^{k})^qa^r \equiv 1 \pmod{n}
+$$
+
+又因为 $a^k \equiv 1 \pmod{n}$，所以 $(a^{k})^q\equiv 1 \pmod{n}$，上式可以简化为
+
+$$
+a^r \equiv 1 \pmod{n}
+$$
+
+根据阶的定义，$k$ 是能让 $a^k \equiv 1 \pmod{n}$ 的最小整数，又因为 $0 \ge r < k$，所以 $r = 0$，有：
+
+$$
+j = qk
+$$
+
+因此 $k$ 整除 $j$，证毕。
+</details>
+
+#### 2. 如果 $a$ 与模数 $n$ 互质，那么 $a$ 的阶 $k$ 能够整除 $\phi(n)$，其中 $\phi(n)$ 是欧拉函数。
+
+<details><summary>点我展开证明 👀</summary>
+
+这一性质涉及欧拉定理，我们会在下一节介绍。
+
+根据欧拉定理，有 $a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n}$。根据第一个性质：如果 $a$ 的阶为 $k$，那么 $a^j \equiv 1 \pmod{n}$ 当且仅当 $k$ 整除 $j$。有 $k$ 整除$\phi(n)$。证毕。
+</details>
+
+## 3. 欧拉定理
+
+欧拉定理将欧拉函数和幂运算的循环性质联系起来。
+
+**定理：** 如果整数 $a$ 和正整数 $n$ 互质（即 $\gcd(a,n)=1$），那么 $a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n}$。
+
+其中 $\phi(n)$ 是欧拉函数，也就是 $[1, ..., n-1]$ 中与 $n$ 互质的整数的个数。
+
+继续使用上面的例子，$a=2, n =5$，首先计算 $\phi(5)=5-1=4$，有 $2^4 \equiv 16 \equiv 1 \pmod{5}$， 符合欧拉定理。
+
+再举个例子，$a = 3, n = 7$，首先计算 $\phi(7) = 7-1 =6$，然后应用欧拉定理得到 $3^6 \equiv 1 \pmod{7}$。检查一下 $3^6 = 729$，除 $7$ 的余数为 $1$，欧拉定理正确。
+
+<details><summary>点我展开证明 👀</summary>
+
+考虑集合 $S = Z_n^* = \set{1 \le x \le n | \gcd(x,n) = 1}$。我们知道 $S$ 共有 $\phi(n)$ 个元素，把它们记为 $\set{x_1, x_2, ..., x_{\phi(n)}}$。
+
+再考虑另一个集合 $S'$，它的元素是 $S$ 中的元素乘以 $a$，可以表示为：
+
+$S' = aS = \set{ax_1, ax_2, ..., ax_{\phi(n)}}$
+
+**引理1：** $\gcd(ax_i,n) = 1$。
+
+证明：因为 $\gcd(a, n) = 1$ 且 $\gcd(x_i,n) = 1$，因此 $\gcd(ax_i,n) = 1$。
+
+**引理2：** 从集合 $S'$ 任取两个元素，它们不在模 $n$ 下同余。
+
+证明：假设 $S'$ 中存在两个元素 $ax_i$ 和 $ax_j$ 同余，有 $ax_i \equiv ax_j \pmod{n}$，那么有 $a(x_i- x_j) \equiv 0 \pmod{n}$，也就意味着 $n$ 整除 $a(x_i- x_j)$，即 $n|a(x_i- x_j)$。又因为 $\gcd(a, n) = 1$，那么 $n|(x_i- x_j)$，也就是 $x_i- x_j = kn$。又因为 $1 \le x_i, x_j \le n$，因此 $x_i - x_j = 0$，也就是 $x_i = x_j$，因此当且仅当 $i=j$ 时， $x_i$ 才和 $x_j$ 同余。证毕。
+
+根据引理1和2，我们知道 $S'$ 由 $\phi(n)$ 个与 $n$ 互质的元素组成，且它们两两不同余。也就是说 $S' = Z_n^*$，和 $S$ 中包含的元素相同（但是顺序可能改变）。
+
+接下来，我们分别将 $S$ 和 $S'$ 所有元素相乘，它们应该同余，也就是：
+
+$(ax_1)(ax_2)...(ax_{\phi(n)}) \equiv x_1x_2...x_{\phi(n)} \pmod{n}$
+
+把所有的 $a$ 提出来，一共 $\phi(n)$ 个，有：
+
+$a^{\phi(n)} x_1x_2...x_{\phi(n)}  \equiv x_1x_2...x_{\phi(n)} \pmod{n}$
+
+设 $X = x_1x_2...x_{\phi(n)}$，有 $\gcd(X,n) = 1$，因此原式可以简化成：
+
+$a^{\phi(n)} X  \equiv X \pmod{n}$
+
+因为 $X^{-1}$ 存在，我们在两边同时乘以 $X^{-1}$ 并简化，可以得到：
+
+$a^{\phi(n)}  \equiv 1 \pmod{n}$
+
+证毕！
+</details>
+
+### 3.1 与费马小定理的关系
+
+我们可以很轻松的利用欧拉定理证明费马小定理。
+
+根据欧拉定理：如果整数 $a$ 和正整数 $n$ 互质（即 $\gcd(a,n)=1$），那么 $a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n}$。
+
+当 $n$ 为质数时， $\phi(n)=n-1$，代入原式，有 $a^{n-1} \equiv 1 \pmod{n}$， 等价于 $a^{n} \equiv a \pmod{n}$。这样，我们就证明了费马小定理，它可以被认为是欧拉定理 $n$ 为质数时的特殊情况。
+
+### 3.2 代码实现
+
+你可以在python中验证欧拉定理：
+
+```python
+def gcd(a, b):
+    while b:
+        a, b = b, a % b
+    return a
+
+def euler_phi(n):
+    count = 0
+    for i in range(1, n + 1):
+        if gcd(n, i) == 1:
+            count += 1
+    return count
+
+def euler_theorem(a, n):
+    if gcd(a, n) != 1:
+        raise ValueError("a and n must be coprime for Euler's theorem.")
+    
+    result = pow(a, euler_phi(n), n)
+    return result
+
+# 示例
+n = 15
+print(f"欧拉函数 phi({n}): {euler_phi(n)}")
+# 欧拉函数 phi(15): 8
+
+a = 7
+result = euler_theorem(a, n)
+print(f"欧拉定理: {a}^phi({n}) mod {n} = {result}")
+# 欧拉定理: 7^phi(15) mod 15 = 1
+```
+
+## 4. 总结
+
+这一讲，我们介绍了欧拉定理，以及它和费马小定理的关系。它是RSA加密算法的数学基础，非常重要，大家要好好掌握。
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index e5d437b..93ec1ee 100644
--- a/README.md
+++ b/README.md
@@ -26,6 +26,8 @@
 
 **第9讲 欧拉函数**：[Code](./09_Unit/Unit.ipynb) | [教程](./09_Unit/readme.md) 
 
+**第10讲 欧拉定理**：[Code](./10_Euler/Euler.ipynb) | [教程](./10_Euler/readme.md) 
+
 ## Reference
 
 1. [Moonmath Manual by LeastAuthority](https://github.com/LeastAuthority/moonmath-manual)