gpt-ans.tex

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% 定义金色颜色
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\makeatletter
% ---------------------------------------------------------------------------------- %
% /* ---------------------------------- 第二种定理 --------------------------------- */
\newtcolorbox{test}{
	breakable,
	enhanced,
	sharp corners,
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		\my@theorem@overlay@unbroken{gray}
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%%  Overlay Settings
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% 左侧圆柱体
\node[cylinder, 
draw=#1, 
cylinder uses custom fill,
cylinder body fill=parchment, 
cylinder end fill=parchment!70,
minimum width=0.5cm, % 更窄的圆柱体宽度
minimum height=8cm,
shape border rotate=90, % 调整方向
anchor=center,drop shadow={opacity=0.3,shadow xshift=0.3mm,shadow yshift=-0.5mm},] (left) at ([yshift=-3cm]frame.north west) {};

% 左侧圆柱体花纹
\begin{scope}
  \clip ([shift={(-0.25,0)}]frame.north west) rectangle  +(0.5,0); % 更窄的花纹范围
  \fill[pattern=customgrid, pattern color=gray!40] ([shift={(-0.25,0)}]frame.north west) rectangle  +(0.5,0);
\end{scope}

% 右侧圆柱体
\node[cylinder, 
draw=gray, 
cylinder uses custom fill,
cylinder body fill=parchment, 
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minimum width=0.5cm, % 更窄的圆柱体宽度
minimum height=6cm,
shape border rotate=90, % 调整方向
anchor=center,drop shadow={opacity=0.3,shadow xshift=-0.3mm,shadow yshift=-0.5mm},] (right) at (frame.north east) {};

% 右侧圆柱体花纹
\begin{scope}
  \clip ([shift={(0.25,0)}]frame.north east) rectangle  +(-0.5,0); % 更窄的花纹范围
  \fill[pattern=customgrid, pattern color=gray!40] ([shift={(0.25,0)}]frame.north east) rectangle  +(-0.5,0);
\end{scope}


% 左侧金属球（上下两个，与圆柱体贴合）
\begin{pgfonlayer}{bottom}
\shade[ball color=gold] (frame.north west) circle (0.3); % 更大的金属球
\end{pgfonlayer}
%  \begin{pgfonlayer}{foreground}
\shade[ball color=gold] (frame.south west) circle (0.3);
% \end{pgfonlayer}


% 右侧金属球（上下两个，与圆柱体贴合）
\begin{pgfonlayer}{bottom}
\shade[ball color=gold] (frame.north east) circle (0.3); % 更大的金属球
\end{pgfonlayer}
\shade[ball color=gold] (frame.south east) circle (0.3);

}
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% }
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% }


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\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\title{课题调研与选题探讨}
\subtitle{上同调学习笔记}
\edition{第一版}
\bookseries{课\hspace{.5em}题\hspace{.5em}调\hspace{.5em}研}
\author{Shilong.Lu}
\pressname{Springer} %出版社名称
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\frontmatter
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\mainmatter
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\partabstract{}
\part{Blow-up 与Dolbeault 上同调学习笔记}
\chapter{问题与回答集锦}
\section{一些问答合集}
\subsection{问题与回答}
\[
b_1^q + b_2^q + \cdots + b_d^q = \frac{1}{2\pi \sqrt{-1}} \int_{|w|=r} \frac{w^q \frac{\partial f}{\partial w}(z, w)}{f(z, w)} dw.
\]

这个公式的推导基于复变函数的 \textbf{留数定理}
和解析函数的性质。下面逐步解释推导的过程：

\begin{center}\rule{0.5\linewidth}{0.5pt}\end{center}

\hypertarget{ux80ccux666fux548cux76eeux6807}{%
\subsubsection{背景和目标}\label{ux80ccux666fux548cux76eeux6807}}

函数 \(f(z, w)\) 是 \(z, w\) 的复变量函数，在 \(w\) 上的零点（根）为
\(b_1, b_2, \dots, b_d\)。目标是通过积分公式计算与这些零点相关的某些性质（例如零点的幂和等）。

\begin{center}\rule{0.5\linewidth}{0.5pt}\end{center}

\hypertarget{ux96f6ux70b9ux7684ux6027ux8d28ux548cux7559ux6570ux5b9aux7406}{%
\subsubsection{1.
零点的性质和留数定理}\label{ux96f6ux70b9ux7684ux6027ux8d28ux548cux7559ux6570ux5b9aux7406}}

根据 \(f(z, w)\) 在 \(w\) 上的零点性质，假设
\(w = b_1, b_2, \dots, b_d\) 是 \(f(z, w) = 0\) 在 \(w\)
上的零点，且这些零点位于单位圆盘 \$ \textbar{}w\textbar{} \textless{} r
\$ 内。

\hypertarget{ux7559ux6570ux5b9aux7406ux7684ux5e94ux7528}{%
\paragraph{留数定理的应用}\label{ux7559ux6570ux5b9aux7406ux7684ux5e94ux7528}}

根据复分析，假设 \(f(z, w)\) 在 \(w\)
上的零点为简单零点（重零点的情况需要调整权重），则积分：

\[
\frac{1}{2\pi \sqrt{-1}} \int_{|w|=r} \frac{w^q \frac{\partial f}{\partial w}(z, w)}{f(z, w)} dw
\]

等于 \(w = b_1, b_2, \dots, b_d\) 处的留数之和。

\begin{center}\rule{0.5\linewidth}{0.5pt}\end{center}

\hypertarget{ux7559ux6570ux8ba1ux7b97ux4e0eux96f6ux70b9ux5c55ux5f00}{%
\subsubsection{2.
留数计算与零点展开}\label{ux7559ux6570ux8ba1ux7b97ux4e0eux96f6ux70b9ux5c55ux5f00}}

\hypertarget{ux5355ux4e2aux96f6ux70b9ux7684ux8d21ux732e}{%
\paragraph{单个零点的贡献}\label{ux5355ux4e2aux96f6ux70b9ux7684ux8d21ux732e}}

对于 \(f(z, w)\) 在 \(w = b_i\) 的简单零点，可以写成：

\[
f(z, w) = (w - b_i) f'(z, b_i) + \text{高阶项} \quad \text{(忽略高阶项)}.
\]

因此，\(\frac{\partial f}{\partial w}(z, w)\) 在 \(w = b_i\) 近似为
\(f'(z, b_i)\)，且积分中 \(w^q\) 项在零点处的贡献为：

\[
    \text{Residue at } w = b_i: \quad \frac{w^q}{f'(z, b_i)}.
\]

\hypertarget{ux6240ux6709ux96f6ux70b9ux7684ux8d21ux732e}{%
\paragraph{所有零点的贡献}\label{ux6240ux6709ux96f6ux70b9ux7684ux8d21ux732e}}

对所有零点 \(b_1, b_2, \dots, b_d\)，积分公式累加留数：

\[
\frac{1}{2\pi \sqrt{-1}} \int_{|w|=r} \frac{w^q \frac{\partial f}{\partial w}(z, w)}{f(z, w)} dw = b_1^q + b_2^q + \cdots + b_d^q.
\]

这里 \(b_1^q + b_2^q + \cdots + b_d^q\) 是所有零点的 \(q\) 次幂的和。

\begin{center}\rule{0.5\linewidth}{0.5pt}\end{center}

\hypertarget{ux7ed3ux679cux89e3ux91ca}{%
\subsubsection{3. 结果解释}\label{ux7ed3ux679cux89e3ux91ca}}

公式中的积分与零点 \(b_1, b_2, \dots, b_d\)
的关系直接来源于留数定理。通过这个积分形式，可以解析地计算出零点的 \(q\)
次幂的和。这种方法在解析函数论和几何中非常有用。


要推导你提出的公式：

\[
\sum_{j=1}^d b_j^q = \frac{1}{2\pi i} \int_{|w|=r} \frac{w^q \left(\frac{\partial f(z, w)}{\partial w}\right)}{f(z, w)} \, dw,
\]





\textbf{为何积分函数选择这种形式}，以及 \textbf{留数为何会变成
\(b_i^q\)}。

\begin{center}\rule{0.5\linewidth}{0.5pt}\end{center}

\hypertarget{ux4e00ux4e3aux4f55ux79efux5206ux51fdux6570ux662f-fracwq-fracpartial-fpartial-wz-wfz-w}{%
\subsubsection{\texorpdfstring{一、为何积分函数是
\(\frac{w^q \frac{\partial f}{\partial w}(z, w)}{f(z, w)}\)？}{一、为何积分函数是 \textbackslash{}frac\{w\^{}q \textbackslash{}frac\{\textbackslash{}partial f\}\{\textbackslash{}partial w\}(z, w)\}\{f(z, w)\}？}}\label{ux4e00ux4e3aux4f55ux79efux5206ux51fdux6570ux662f-fracwq-fracpartial-fpartial-wz-wfz-w}}

首先回顾留数定理的基本思想：对于一个解析函数 \(f(w)\)，如果它在
\(w = b_i\) 有一个 \textbf{简单零点}，那么其 \textbf{留数}
可以由下式计算：

\[
\text{Residue at } w = b_i: \quad \text{Res}_{w = b_i}\left(\frac{g(w)}{f(w)}\right) = \frac{g(b_i)}{f'(b_i)},
\]

这里 \(g(w)\) 是另一个解析函数，且 \(f(b_i) = 0\) 是简单零点。

\begin{center}\rule{0.5\linewidth}{0.5pt}\end{center}

在这个公式中，我们的目标是将零点 \(b_1, b_2, \dots, b_d\)
的信息提取出来，并集中在积分形式中。

\hypertarget{ux5173ux4e8eux79efux5206ux51fdux6570ux7684ux9009ux62e9}{%
\paragraph{1.
关于积分函数的选择}\label{ux5173ux4e8eux79efux5206ux51fdux6570ux7684ux9009ux62e9}}

目标是通过积分公式构造出 \textbf{零点的 \(q\) 次幂和}，即
\(b_1^q + b_2^q + \cdots + b_d^q\)。所以积分核 \(\frac{g(w)}{f(z, w)}\)
中的 \(g(w)\) 应该选择成一个 \textbf{与零点 \(b_i\) 相关的函数}。

为了提取零点的 \(q\) 次幂，选择 \(g(w) = w^q\)
是一个自然的选择，因为零点 \(b_i\) 的贡献将是 \(w = b_i\) 处的 \(w^q\)
值。

\hypertarget{ux51fdux6570-fracpartial-fpartial-wz-w-ux7684ux5f15ux5165}{%
\paragraph{\texorpdfstring{2. 函数
\(\frac{\partial f}{\partial w}(z, w)\)
的引入}{2. 函数 \textbackslash{}frac\{\textbackslash{}partial f\}\{\textbackslash{}partial w\}(z, w) 的引入}}\label{ux51fdux6570-fracpartial-fpartial-wz-w-ux7684ux5f15ux5165}}

如果 \(f(z, w)\) 在 \(w = b_i\) 有一个零点，局部展开为：
\[
f(z, w) = (w - b_i) f'(z, b_i) + \text{高阶项}.
\]

这里假设 \(b_i\) 是 \textbf{简单零点}，因此零点处的导数不为零，即
\(f'(z, b_i) \neq 0\)。

对于留数计算，需要 \(\frac{\partial f}{\partial w}(z, w)\)
出现在分子中，因为这样才能在积分中抵消 \(f(z, w)\) 在零点处的一阶行为
\((w - b_i)\)：
\[
\frac{w^q \frac{\partial f}{\partial w}(z, w)}{f(z, w)} \quad \text{在 } w = b_i \text{ 附近的主要贡献是：} \quad \frac{b_i^q}{f'(z, b_i)}.
\]

这使得留数的贡献只和零点的 \(q\) 次幂 \(b_i^q\) 相关。

\begin{center}\rule{0.5\linewidth}{0.5pt}\end{center}

\hypertarget{ux4e8cux4e3aux4f55ux7559ux6570ux53d8ux6210ux4e86-b_iq}{%
\subsubsection{\texorpdfstring{二、为何留数变成了
\(b_i^q\)？}{二、为何留数变成了 b\_i\^{}q？}}\label{ux4e8cux4e3aux4f55ux7559ux6570ux53d8ux6210ux4e86-b_iq}}

\hypertarget{ux7559ux6570ux7684ux8ba1ux7b97}{%
\paragraph{1. 留数的计算}\label{ux7559ux6570ux7684ux8ba1ux7b97}}

在 \(w = b_i\) 附近，将 \(f(z, w)\) 局部展开为：
\[
f(z, w) \approx (w - b_i) f'(z, b_i),
\]
         
代入积分核
\(\frac{w^q \frac{\partial f}{\partial w}(z, w)}{f(z, w)}\)，我们得：
\[
\frac{w^q \frac{\partial f}{\partial w}(z, w)}{f(z, w)} \approx \frac{w^q f'(z, w)}{(w - b_i) f'(z, b_i)}.
\]

在 \(w = b_i\) 附近，\(f'(z, w) \approx f'(z, b_i)\)，所以进一步化简为：
\[
\frac{w^q \frac{\partial f}{\partial w}(z, w)}{f(z, w)} \approx \frac{w^q}{w - b_i}.
\]

此时只剩下经典的 \textbf{留数积分形式}，即：
\[
\text{Res}_{w = b_i} \left(\frac{w^q}{w - b_i}\right) = b_i^q.
\]

\hypertarget{ux5168ux79efux5206ux7684ux7ed3ux679c}{%
\paragraph{2. 全积分的结果}\label{ux5168ux79efux5206ux7684ux7ed3ux679c}}

由于积分绕的是一个包含所有零点 \(b_1, b_2, \dots, b_d\) 的圈
\(|w| = r\)，而积分中每个零点的贡献是它的留数之和，因此最终得到：
\[
\frac{1}{2\pi \sqrt{-1}} \int_{|w| = r} \frac{w^q \frac{\partial f}{\partial w}(z, w)}{f(z, w)} dw = b_1^q + b_2^q + \cdots + b_d^q.
\]

\begin{center}\rule{0.5\linewidth}{0.5pt}\end{center}

\hypertarget{ux4e09ux603bux7ed3}{%
\subsubsection{三、总结}\label{ux4e09ux603bux7ed3}}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\item
  \textbf{积分函数的形式}：选择
  \(\frac{w^q \frac{\partial f}{\partial w}(z, w)}{f(z, w)}\)
  是为了匹配留数的公式，同时提取零点的 \(q\) 次幂信息。
\item
  \textbf{留数为何是 \(b_i^q\)}：通过将 \(f(z, w)\)
  在零点附近展开，积分核 \(\frac{w^q}{w - b_i}\) 的留数恰好是
  \(b_i^q\)。
\end{enumerate}



  

% \begin{test}
%   \zhlipsum[1]
% \end{test}
  









\normalem
% \printbibliography[
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% title={参考文献}
% ]
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\ISBNcode{\EANisbn[ISBN=978-80-7340-097-2]} %
\summary{这是收集了一些杂七杂八的资料的笔记。}
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