Analys 2 Cheet Sheet.md

Analys 2

##Integral verktyg

Fem steg för att lösa $ \int \frac{a(x)}{b(x)} dx $

1. Polynomdivition $$ \int \frac{a(x)}{b(x)} dx = \int(p(x) + \frac{r(x)}{b(x)}) dx =\int p(x) dx  + \int\frac{r(x)}{b(x)} dx $$

2. Faktorisering av $b(x)​$ så långt som möjligt $$ \int\frac{r(x)}{b(x)} dx = \int\frac{r(x)}{p_1p_2...*p_n} dx. $$

$$ \begin{alignat*}{} &\text{Faktor} \qquad (x+a) &\text{partialbråk} \quad \frac{A}{(x+a)} \\ &\text{Faktor} \qquad (x+a)^n &\text{partialbråk} \quad \frac{A_1}{(x+a)^1} + \frac{A_2}{(x+a)^2}+...+\frac{A_n}{(x+a)^n} \\ &\text{Faktor} \quad (x^2+ax+b) &\text{partialbråk} \quad \frac{Ax+B}{(x^2+ax+b)} \\ &\text{Faktor} \quad (x^2+ax+b)^n &\text{partialbråk} \quad \frac{A_1x+B_1}{(x^2+ax+b)^1} + \frac{A_2x+B_2}{(x^2+ax+b)^2}+...+\frac{A_nx+B_n}{(x^2+ax+b)^n} \end{alignat*} $$

4. Bestäm konstanterna
5. Lös integralerna

Primitiva funktioner för rotenuttryck

! Innehåller uttrycket $\sqrt{\dotsc}$ eller trigonometriska uttryck utförs speciella variabelbyten.

• Faktor $\sqrt{x+a}​$ byts mot $t=\sqrt{x+a}​$

• Faktor $\frac{\sqrt{x+a}}{\sqrt{x+b}}​$ byts mot $t =\frac{\sqrt{x+a}}{\sqrt{x+b}}​$

• Faktor Faktor $\sqrt{x^2+a}​$ byts mot $t=\sqrt{x^2+a} + x​$

• Faktor Faktor $\sqrt{a - x^2}​$ byts mot $t=\sqrt{a} \sin(t)​$ 

• Trigonometriska bytas mot $t=tan(\frac{x}{2}) \quad ,x=2\arctan(t) \quad ,\frac{dx}{dt}=\frac{2}{t^2+1} ​$  $$ \begin{align*} \sin(x) = \frac{2\tan(\frac{x}{2})}{\tan(\frac{x}{2})^2+1}=\frac{2t}{t^2+1} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \ \cos(x) = \frac{1-\tan^2(\frac{x}{2})}{\tan^2(\frac{x}{2})+1}=\frac{1-t^2}{t^2+1} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \end{align*} $$

• $\sin^2(x)​$ eller $\cos^2(x)​$ byts mot eulers formel $\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}​$ , $\cos(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}​$

Riemansumma

Dela in intervallet $[a,b]$ i $n$ st delintervall $I_k = [x_{k-1}, x_k]$

Välj sedan för varje intervall ett $\epsilon \in I_k$

• Not Väljer man $\epsilon = x_{k-1}$ får man Undertrappa
• Not väljer man $\epsilon = x_k$ får man Övertrappa

$$ R_D =\sum_{i=1}^{n} f(\epsilon_i)*(x_i-x_{i-1}) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad $$

Analysens huvudsats $$ \int_{a}^{b}f(x) dx = \left[F(x)\right]a^b =F(b) - F(a) \ $$ Om $f(x)​$ har asymptot $\epsilon \in [a,b]​$ gäller inte analysens huvudsats för $\int{a}^{b}f(x) dx​$ istället används: $$ \int_{a}^{b}f(x) dx = \int_{a}^{\epsilon}f(x) dx + \int_{\epsilon}^{b}f(x) dx $$

Konvergent integral

Där $A​$ är ett ändligt tal, kallas integralen förkonvergent $$ \int_{a}^{b}f(x)dx = A $$

Divergent integral $$ \int_{a}^{b}f(x)dx = \pm \infin $$ Jämförelse test

Om frågan är integralen konvergent eller divergent så kan man använda detta verktyget. $$ \text{Om} \quad 0 \le f(x) \le g(x) \quad \text{och} \quad \int_{a}^{b} g(x)dx \quad \text{Konvergent} \implies \int_{a}^{b} f(x)dx \quad \text{Konvergent}\ \text{Om} \quad 0 \le g(x) \le f(x)\quad \text{och} \quad \int_{a}^{b} g(x)dx \quad \text{Divergent} \implies \int_{a}^{b} f(x)dx \quad \text{Divergent}\ $$

##Applicationer till integral

Area $$ A = \int_{x_1}^{x_2} h(x) dx $$

Volym $$ V = \int_{x_1}^{x_2} A(x) dx $$ Massan $$ m = \int_{x_1}^{x_2} \rho(x)*A(x) dx $$ Längd av kurva $$ L = \int_{t_1}^{t_2}\left(\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2\right)^{1/2}dt \ $$

$$ \text{Special} \quad y = y(x) \quad \text{välj } t=x\

L = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1+(y')^2} dx \ $$

$$ \text{Polära kordinater} \quad x = rcos(\theta) \quad y = rsin(\theta) \

L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \left(\left( \frac{dr}{d\theta}\right)^2 + r^2 \right)^{1/2} d\theta $$

Mantelarea $$ A_m = 2\pi \int_{x_1}^{x_2} y* \sqrt{1+(y')^2} dx $$ Krökningsradie $$ \kappa \equiv \frac{1}{R} \qquad

R =\frac{(1+(y')^2)^{3/2}}{y''} $$ Masscentrum $$ X_{cm} = \frac{1}{m}\int_{x_1}^{x_2} x \rho(x)*A(x) dx $$ Tröghetsmoment $$ E=\frac{I\omega^2}{2} \qquad I = \int_{x_1}^{x_2}r^2dm $$

##Diffar

Första ordningens diffar $$ y'+g(x)y = f(x) $$

$$ I(x)=e^{G(x)} \qquad y= \frac{\int I(x)*f(x)dx}{I(x)} $$

Andra ordningens linjära diffar $$ y''+Ay'+By = f(x) \ \text{ }\ K.E. \quad r^2+Ar+B=0 \ \begin{alignat*}{} a) \quad r_1 \neq r_2 \qquad reella \quad y_h = Ae^{r_1x} + Be^{r_2x} \ b) \quad r_1 = r_2 \qquad reella \quad y_h = (Ax+B)e^{rx} \ c) \quad r = \alpha \pm i \beta \quad img \quad y_h= e^{\alphax}(Asin(\beta x) + Bcos(\beta x)) \ \end{alignat*} \ \text{ }\

\text{Ansättning av } y_p \

1. \quad y_h \neq kf(x) \ \begin{array}{c|c} f(x) & y_p\ \hline \text{polynom grad } n & \text{polynom grad } n \ Ae^{kx} & Be^{kx} \ Asin(kx)+Bcos(kx) & Csin(kx) + Dcos(kx) \end{array}\ \text{ }\

2. \quad y_h = kf(x) \ \begin{array}{c|c} f(x) & y_p\ \hline Ae^{kx} & Bxe^{kx} \ Axe^{k*x} & Bx^2e^{kx} \

\end{array}\ $$ Separabla variabler $$ g(y)y' = f(x) \ \text{ } \ \int g(y)dy = \int f(x)dx $$ Bernaulis ekvation $$ y'+g(x)y = f(x)y^n \ \text{ } \ Z'+(1-n)g(x)Z = (1-n)f(x) \ I(x)=e^{G(x)} \quad Z= \frac{\int I(x)*f(x)dx}{I(x)} \ y=Z^{\left(\frac{1}{1-n}\right)} $$

Serie expansioner

Maclaurin Serier $$ f(x) = \sum_{i=0}^{\infin}\frac{f^{(i)}(0)}{i!}*x^{i} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad $$

Tayler Serier

*Not om $f(x)​$ ej har kontinueliga derivator $f^{(n)}(x)​$ eller ej är kontinuerlig funkar ej maclaurin expansion

*Egenskap Om en diskontinuelig funktion är kontinuelig och har kontinueliga derivator i intervallet $(a < x < b) = I​$  kan valfri $\epsilon \in I ​$ väljas och $f(x) = \sum_{i=0}^{\infin}\frac{f^{(i)}(\epsilon)}{i!} * (x-\epsilon)^{i}​$

• Def Taylorpolynom ordo $n$ kring $a$

  $$ T_a(x) = \sum_{i=0}^{n}\frac{f^{(i)}(a)}{i!}*(x-a)^{i} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad $$

Bevis

1 Partiell integrering

$$ D\left(Fg-\int Fg' dx\right) = Fg + Fg'-Fg' = fg $$

2. Analysens huvudsats

$$ \text{Antag att } F(x) = \int_t^x f(x) dx \\ \text{ } \\ \begin{alignat*}{} F'(x)&= \lim_{\Delta x\to 0} \left(\frac{\int_{t}^{x+\Delta x}f(x)dx-\int_{t}^{x}f(x)dx}{\Delta x}\right) \\ &= \lim_{\Delta x\to 0} \left(\frac{\int_{t}^{x}f(x)dx+\int_{t}^{x+\Delta x}f(x)dx-\int_{t}^{x}f(x)dx}{\Delta x}\right) \\ &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{1}{\Delta x} \int_x^{x+\Delta x}f(x)dx \\ &= \lim_{\Delta x\to 0} \left( \frac{1}{\Delta x} * \Delta x * f(x) \right) \\ &= f(x) \\ \end{alignat*} \\ $$

$$ \implies F'(x) = f(x) \text{ Så är } F(x)\text{ primitiv till } f(x) \\ F(b)-F(a) = \int_t^bf(x)dx - \int_t^af(x)dx = \int_a^bf(x)dx $$

3 Längd av Kurva

$$ L = \int_L \sqrt{(dx)^2+(dy)^2} = \int_L\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}*\frac{dx}{dx} = \int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dx}\right)^2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx= \int_a^b \sqrt{1+(y')^2}dx $$

4 Mantelarea

$$ dL = \sqrt{1+(y')^2} dx \ dA_m = 2\piydL = 2\pi y\sqrt{1+(y')^2}dx \ \implies A_m = \int_{x_1}^{x_2} 2\pi y\sqrt{1+(y')^2}dx = 2\pi\int_{x_1}^{x_2}y*\sqrt{1+(y')^2}dx $$

5 Krökningsradie

$$ y'=tan(\theta) \implies \theta = arctan(y') \ dL = Rd\theta \implies R = \frac{dL}{d\theta} = \frac{dL}{dx} * \frac{dx}{d\theta} = \frac{dL}{dx} * \left(\frac{d\theta}{dx}\right)^{-1} \ = \frac{\sqrt{1+(y')^2}dx}{dx}\left( \frac{y''}{1+(y')^2} \right)^{-1}\ = \sqrt{1+(y')^2}* \frac{1+(y')^2}{y''} \ = \frac{(1+(y')^2)^{3/2}}{y''} $$

6 Tröghetsmomentet

$$ 2E = \int V^2dm = \int \omega^2r^2dm = \omega^2 \int r^2dm \implies I=\int r^2 dm $$

7 Första ordningens diff

$$ \begin{alignat*}{} y'+g(x)y=f(x) &\implies y'e^{G(x)} + g(x)ye^{G(x)} = f(x)e^{G(x)}\\ &\implies \frac{d}{dx}\left(y'e^{G(x)}\right) = \int f(x)e^{G(x)}dx \\ &\implies y = \frac{\int e^{G(x)}f(x)dx}{e^{G(x)}} \end{alignat*} $$

###8 Andra ordningens diffar

$$ y''+Ay'+By=0 \\ \text{ } \\ \begin{alignat*}{} \text{Antag} &y=Ze^{rx} \\ &y'=Z'e^{rx}+rZe^{rx} \\ &y''= Z''e^{rx}+2rZ'e^{rx}+r^2Ze^{rx} \end{alignat*}\\ $$

$$ \begin{alignat*}{} y''+Ay'+By&=e^{rx}\left(Z'' + 2rZ'+r^2Z+AZ'+ArZ+BZ\right) \\ &=e^{rx}\left(Z''+Z'(2r+A)+Z\underbrace{(r^2+ar+B)}_\text{KE}\right) = 0 \end{alignat*} \\ $$

$$ \text{Då KE har dubbelrot} \\ \begin{alignat*}{} r=-\frac{a}{2}\pm\sqrt{0} &\implies a=-2r \\ &\implies Z'' = 0 \\ &\implies Z' = A \\ &\implies Z = Ax+B \\ &\implies y=e^{rx}(Ax+B) \\ \end{alignat*} \\ $$

$$ \text{Då KE har reella rötter} \\ \begin{alignat*}{} a \neq-2r &\implies Z' = 0 \\ &\implies Z = A \\ &\implies y=Ae^{r_1x}+Be^{r_2x} \\ \end{alignat*} \\ $$

$$ \text{Då KE har imaginära rötter } \ \begin{alignat*}{} r= \alpha \pm i \beta &\implies y=Ae^{r_1x}+Be^{r_2x} \ &\implies y= Ae^{\alpha + i \beta}+Be^{\alpha - i \beta} \ &\implies y=e^{\alpha x}\left(Ae^{i\beta}+Be^{-i\beta}\right) \ &\implies y=e^{\alpha x}\left( Acos(\beta x) +iAsin(\beta x) + Bcos(\beta x) - iBsin(\beta x)\right) \ & \implies y=e^{\alpha x}\left( \underbrace{(A+B)}\text{=D}cos(\beta x) + \underbrace{i(A+B)}\text{=E}sin(\beta x)\right) \ &\implies y=e^{\alpha x}\left( Dcos(\beta x) + Esin(\beta x)\right) \ \end{alignat*} \ $$

9 Bernaulis ekvation

$$ y'+g(x)y=f(x)y^n \ y=Z^{\frac{1}{1-n}} \ y'=\frac{Z^{\frac{1}{1-n}}*Z'}{1-n} \ \text{Insättning ger} \ \frac{Z^{\frac{1}{1-n}}*Z'}{1-n}+g(x)Z^{\frac{1}{1-n}} = f(x)Z^{\frac{n}{1-n}} \

Z'+(1-n)g(x)Z=(1-n)f(x) $$

10 Maclaurin utveckling

$$ \begin{alignat*}{} f(x)&=f(0)+\int_{0}^{x}f'(x)dx \ &=f(0)+\int_{0}^{x}\left(f'(0)+\int_{0}^{x}f''(x)dx\right) dx\ &=f(0)+\int_{0}^{x}f'(0)dx + \int_{0}^{x}\int_{0}^{x}f''(x)dxdx\ &=f(0)+\int_{0}^{x}f'(0)dx + \int_{0}^{x}\int_{0}^{x}\left(f''(0) +\int_{0}^{x}f^{(3)}(x)dx\right)dxdx\ &=f(0)+\int_{0}^{x}f'(0)dx + \int_{0}^{x}\int_{0}^{x}f''(x)dxdx + \int_{0}^{x}\int_{0}^{x}\int_{0}^{x}f^{(3)}(x)dxdxdx\ &\text{ }\text{ }\vdots \ &=f(0)=+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^2+\frac{f^{(3)}(0)}{2*3}x^3 \ldots \ &=\sum_{i=0}^{\inf}\frac{f^{(i)}(0)}{i!}x^i

\end{alignat*} $$