En funktion
En funktion är injektiv om
En funktion är surjektiv om
En funktion är bijektiv om den är både injektiv och surjektiv. En sådan funktion är inverterbar.
Antalet funktioner från mängden
Bijektioner mellan två mängder finns enbart för mängder av samma storlek (eller oändliga).
Två mängder har samma kardinalitet om det finns en bijektiv funktion (bijektion) mellan dem. En sådan mängd är uppräknelig. Med en oändlig, uppräknelig mängd kan ett ändligt antal element tas bort utan att påverka kardinaliteten.
En mängd och två räknesätt är en kropp $(K, +, )$ om $(K, +)$ är en grupp och $(K, )$ är en grupp. Enbart additionen måste vara kommutativ, $ab=ba$ och
En mängd och två räknesätt är en kropp $(K, +, )$ om $(K, +)$ är en grupp och $(K\setminus {0}, )$ är en grupp. Multiplikationen och additionen måste vara kommutativ, $ab=ba$ och
Viktig sats:
Om
Om det enbart finns ett värde för
- Ordna elementen i
$A$ (numrera$1$ till$n$ ) - Bilda en
$n\times n$ -matris likt följande
En sammansatt funktion på matrisform beräknas med vanlig matrismultiplikation, där allt över
I en matris ser man att en relation är :
- reflexiv genom att kontrollera att huvuddiagonalen enbart består av ettor
-
symmetrisk genom att kontrollera att det finns en symmetri, d.v.s att element
$(i,j)=(j,i)$ -
transitiv genom att kontrollera att
$M\times M=M$ -
anti-symmetrisk genom att kontrollera att det inte finns någon symmetri. D.v.s. att om elementet
$(i,j)=1$ så är garanterat$(j,i)=0$ , vice versa.
Den sammansatta relationen av två relationer
En ekvivalensrelation är en relation som är reflexiv, symmetrisk och transitiv. Exempelvis
Givet en ekvivalensrelation
Notera att man ofta skriver
En partiell ordningsrelation är en relation som är reflexiv, anti-symmetrisk och transitiv. Exempelvis
En total ordningsrelation är en partiell ordningsrelation sådan att för alla
Låt
- Får ej överlappa,
$x_i\cap x_j=\emptyset$ om$i≠j$ - Alla partitioner blir mängden själv,
$x_1\cup x_2\cup…=M$
Notera att varje ekvivalensrelation ger upphov till en partition.
Antalet ekvivalensrelationer på en mängd är alltså antalet partitioner av mängden.
En grupp $(G, )$ består av en icke-tom mängd $G$ och en binär partition $:G\times G\rightarrow G$.
Notera att '$*$' här innebär "grupp-multiplikation".
En grupp har följande egenskaper:
- Den är sluten.
$\forall x,y\in G$ gäller$x*y\in G$ - Den är associativ.
$\forall x,y,z\in G$ gäller $(xy)z=x(yz)$ - Den har ett identitetselement.
$\exists e\in G$ så att $xe=ex=x, \forall x\in G$. Kallas även det neutrala elementet$e$ . Detta element är unikt - Det ska finnas inverser.
$\forall x\in G$ finns något$y\in G$ så att $xy=yx=e$. Elementet$y$ betecknas med$x^{-1}$ och kallas för inversen till$x$
Notera att grupper som har egenskapen $xy=yx, \forall x,y\in G$ sägs vara abelska (kommutativa).
En symmetrisk grupp betecknas
Låt
Det vill säga att ordningen för en grupp definieras som antalet element i gruppen.
Låt
Det vill säga att ordningen för ett element är det minsta heltalsvärdet för
Låt
- Sluten
- Identitetselementet är medtaget
- Alla inverser är medtagna
då är $(H, )$ en delgrupp till $(G,)$.
Gruppen $$ kallas för gruppen som genereras av
Exempelvis är gruppen
Betrakta den symmetriska gruppen
Då är
För att få fram en cykelform för enradsform skrives först denna om som tvåradsform genom att låta den övre raden vara de ordnade värdena. Sedan följs samma resonemang som nedan.
För att få fram en cykelform för tvårads skrives först enradsformen om till tvåradsform där den övre raden består av ordnade tal. Sedan följes cykeln, från övre raden, värde
För att invertera en cykelform läses ingående element baklänges, här
För att invertera en tvåradsform skiftas de bägge raderna.
För att invertera en enradsform skrivs denna först i tvåradsform med ordnade ovanstående element. Sedan skiftas de bägge raderna.
Typen av en permutation beskriver längderna för dess ingående cykler. Det vill säga, cykeln $\underbrace{(1;3;5)}_3\underbrace{(2;4)}_2 $ är av typ
Ordningen av en permutation är alltid lika med
En transposition är en permutation som byter plats på två element. Varje permutation kan skrivas som en produkt (sammansättning) av transpositioner.
För att faktorisera
Om en permutation kan skrivas som en produkt av ett jämnt antal transpositioner kallas denna jämn. Annars är permutationen udda. Notera att detta är oavsett hur transpositionen görs, det vill säga att den alltid utförs på ett jämnt antal eller udda antal transpositioner.
- Välj två olika (slumpmässiga) primtal
$p$ och$q$ - Beräkna
$n=pq$ - Beräkna
$m=(p-1)(q-1)$ - Bestäm två tal
$e$ och$d$ så att $e*d\equiv 1;(mod;)$m
Notera att vi kan välja
Steg 2 samt värdet
Omforma meddelandet
Vi har mottagit
En multigraf får ha flera kanter mellan samma par av noder.
En riktad graf har kanter med riktningar. Ordningen på
Graden för en nod är antalet kanter som går till noden.
En fullständig ./assets/2}$. Ingen komplett graf förutom
En vandring är en följd av noder
En väg är en vandring där alla kanter är olika. Det vill säga ej upprepning hos kant.
En stig är en vandring där alla noder är olika.
En krets är en snluten väg där startnod och slutnod är samma,
En cykel är en sluten stig. Här får startnoden besökas två gånger.
En Eulersk väg./assets/stop) eller
En Hamiltonsk stig/cykel besöker alla noder. Det finns inget lätt sätt att se om en graf är Hamiltonsk. Däremot vet man att den definitivt inte är det om det finns minst
En isomorfisk graf är på samma form - om de har samma duala graf.
Komplementgrafen
Vissa grafer tillåter att nodmängden
En stjärngraf,
En kubgraf,
Den fullständiga bipartita grafen
Ett träd. Inga cykler.
I varje sammanhängande graf
Utan hänsyn till ordningen | Med hänsyn till ordningen | |
---|---|---|
Utan återläggning | ||
Med återläggning |
Utan hänsyn till ordningen, med återläggning:
En pappa ska fördela
Man tänker att man har