From 4843a8fc5ac105c0fafe57bd79bc829969a4804b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Javi Date: Mon, 16 Jul 2018 13:56:00 +0200 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?Revisi=C3=B3n=20de=20apuntes?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- ACGA/Problemas/Entrega 10.tex | 2 +- ACGA/Problemas/Entrega 11.tex | 2 +- ACGA/Problemas/Entrega 12.tex | 4 +- ACGA/Problemas/Entrega 6.tex | 2 +- ACGA/Problemas/Entrega 7.tex | 2 +- ACGA/Problemas/Entrega 8.tex | 2 +- ACGA/Problemas/Entrega 9.tex | 2 +- CV/Ejercicios/EjerciciosTema7.tex | 7 ++- CV/Ejercicios/EjerciciosTema8.tex | 76 +++++++++++++++---------------- CV/lec5.tex | 4 +- CV/lec6.tex | 2 +- MIOP/MIOP.tex | 1 + MIOP/Tema1.tex | 9 ++-- MIOP/Tema2.tex | 2 +- MIOP/Tema3.tex | 2 +- 15 files changed, 61 insertions(+), 58 deletions(-) diff --git a/ACGA/Problemas/Entrega 10.tex b/ACGA/Problemas/Entrega 10.tex index 5e36ef2..e9c5086 100644 --- a/ACGA/Problemas/Entrega 10.tex +++ b/ACGA/Problemas/Entrega 10.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \documentclass[twoside]{article} \usepackage{../../estilo-ejercicios} -\DeclareMathOperator{\Ima}{Im} +%\DeclareMathOperator{\Ima}{Im} %-------------------------------------------------------- \begin{document} diff --git a/ACGA/Problemas/Entrega 11.tex b/ACGA/Problemas/Entrega 11.tex index 5e81d36..e8b5855 100644 --- a/ACGA/Problemas/Entrega 11.tex +++ b/ACGA/Problemas/Entrega 11.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \documentclass[twoside]{article} \usepackage{../../estilo-ejercicios} -\DeclareMathOperator{\Ima}{Im} +%\DeclareMathOperator{\Ima}{Im} \DeclareMathOperator{\Char}{char} %-------------------------------------------------------- \begin{document} diff --git a/ACGA/Problemas/Entrega 12.tex b/ACGA/Problemas/Entrega 12.tex index a34dddf..a74db0b 100644 --- a/ACGA/Problemas/Entrega 12.tex +++ b/ACGA/Problemas/Entrega 12.tex @@ -1,12 +1,12 @@ \documentclass[twoside]{article} \usepackage{../../estilo-ejercicios} -\DeclareMathOperator{\Ima}{Im} +%\DeclareMathOperator{\Ima}{Im} \DeclareMathOperator{\Char}{char} %-------------------------------------------------------- \begin{document} \title{Algebra Conmutativa y Geometría Algebraica} -\author{Rafael González López,Javier Aguilar Martín, Diego Pedraza López} +\author{Rafael González López, Javier Aguilar Martín, Diego Pedraza López} \maketitle \begin{ejercicio}{1} diff --git a/ACGA/Problemas/Entrega 6.tex b/ACGA/Problemas/Entrega 6.tex index e443eb6..fa14d72 100644 --- a/ACGA/Problemas/Entrega 6.tex +++ b/ACGA/Problemas/Entrega 6.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \documentclass[twoside]{article} \usepackage{../../estilo-ejercicios} -\DeclareMathOperator{\Ima}{Im} +%\DeclareMathOperator{\Ima}{Im} %-------------------------------------------------------- \begin{document} diff --git a/ACGA/Problemas/Entrega 7.tex b/ACGA/Problemas/Entrega 7.tex index cb94098..fc5f1f8 100644 --- a/ACGA/Problemas/Entrega 7.tex +++ b/ACGA/Problemas/Entrega 7.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \documentclass[twoside]{article} \usepackage{../../estilo-ejercicios} -\DeclareMathOperator{\Ima}{Im} +%\DeclareMathOperator{\Ima}{Im} %-------------------------------------------------------- \begin{document} diff --git a/ACGA/Problemas/Entrega 8.tex b/ACGA/Problemas/Entrega 8.tex index d195163..51c952f 100644 --- a/ACGA/Problemas/Entrega 8.tex +++ b/ACGA/Problemas/Entrega 8.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \documentclass[twoside]{article} \usepackage{../../estilo-ejercicios} -\DeclareMathOperator{\Ima}{Im} +%\DeclareMathOperator{\Ima}{Im} %-------------------------------------------------------- \begin{document} diff --git a/ACGA/Problemas/Entrega 9.tex b/ACGA/Problemas/Entrega 9.tex index 1575cc1..a4142ba 100644 --- a/ACGA/Problemas/Entrega 9.tex +++ b/ACGA/Problemas/Entrega 9.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \documentclass[twoside]{article} \usepackage{../../estilo-ejercicios} -\DeclareMathOperator{\Ima}{Im} +%\DeclareMathOperator{\Ima}{Im} %-------------------------------------------------------- \begin{document} diff --git a/CV/Ejercicios/EjerciciosTema7.tex b/CV/Ejercicios/EjerciciosTema7.tex index bd55f84..f6f3065 100644 --- a/CV/Ejercicios/EjerciciosTema7.tex +++ b/CV/Ejercicios/EjerciciosTema7.tex @@ -92,6 +92,9 @@ \[ φ (x_1,\dots,x_{n+1}) = \left(\frac{x_1}{1-x_{n+1}},\dots,\frac{x_n}{1-x_{n+1}}\right) \] - que es claramente diferenciable al componerla con cualquiera de las cartas de $S^n$ ya que todas las componetes son diferenciables. - + que es claramente diferenciable al componerla con cualquiera de las cartas de $S^n$ ya que todas las componetes son diferenciables. Además tiene como inversa + \[ + \varphi^{-1}(y_1,\dots, y_n)=\left(\frac{2y_1}{1+\sum y_i^2},\dots,\frac{2y_{n-1}}{1+\sum y_i^2}, \frac{-1+\sum y_i^2}{1+\sum y_i^2}\right) + \] +que también es diferenciable. \end{document} \ No newline at end of file diff --git a/CV/Ejercicios/EjerciciosTema8.tex b/CV/Ejercicios/EjerciciosTema8.tex index c1a1030..47ac0a4 100644 --- a/CV/Ejercicios/EjerciciosTema8.tex +++ b/CV/Ejercicios/EjerciciosTema8.tex @@ -56,54 +56,54 @@ \end{solucion} \newpage -\begin{ejercicio}{9.11} -Sea $\varphi:M\to N$ una aplicación diferenciable entre variedades diferenciables. Probar que $\varphi^*:\Omega^*(N)\to\Omega^*(M)$ es un morfismo de complejos de cadenas. -\end{ejercicio} -\begin{solucion} -Tenemos que probar que el siguiente diagrama es conmutativo -\[ -\begin{tikzcd} -\Omega^k(N)\arrow[r,"d^k"]\arrow[d,"\varphi^*"] & \Omega^{k+1}(N)\arrow[d,"\varphi^*"]\\ -\Omega^k(M)\arrow[r, "d^k"] & \Omega^{k+1}(M) -\end{tikzcd} -\] -para todo $k$. Sea $w\in\Omega^k(N)$. Elegimos $p\in M,q=\varphi(p)\in N$ y parametrizaciones locales $g:W\to M$ y $h:V\to N$. Tenemos por definición -\[ -d_qw=Alt^{k+1}((D_yh)^{-1})d_y(h^*(w))=Alt^{k+1}(D_qh^{-1})d_y(h^*(w)) -\] -donde $y$ cumple $h(y)=q=\varphi(p)$, así que -\[ -\varphi^*(d_qw)_p=Alt^{k+1}(D_p\varphi)\circ Alt^{k+1}(D_qh^{-1})(d_yh^*(w))= -\] -\[ -Alt^{k+1}(D_qh^{-1}D_p\varphi)(d_yh^*(w))=Alt^{k+1}(D_ph^{-1}\varphi)(d_y(h^*(w)))= -\] +%\begin{ejercicio}{9.11} +%Sea $\varphi:M\to N$ una aplicación diferenciable entre variedades diferenciables. Probar que $\varphi^*:\Omega^*(N)\to\Omega^*(M)$ es un morfismo de complejos de cadenas. +%\end{ejercicio} +%\begin{solucion} +%Tenemos que probar que el siguiente diagrama es conmutativo %\[ -%Alt^{k+1}(D_ph^{-1}\varphi)(d_yAlt^k(D_yh)(w_{h(y)})). +%\begin{tikzcd} +%\Omega^k(N)\arrow[r,"d^k"]\arrow[d,"\varphi^*"] & \Omega^{k+1}(N)\arrow[d,"\varphi^*"]\\ +%\Omega^k(M)\arrow[r, "d^k"] & \Omega^{k+1}(M) +%\end{tikzcd} %\] -%Ahora, por la conmutatividad de $d$ con $\Omega^k(h)$ a nivel de complejo de cocadenas de abiertos euclídeos, esto es igual a +%para todo $k$. Sea $w\in\Omega^k(N)$. Elegimos $p\in M,q=\varphi(p)\in N$ y parametrizaciones locales $g:W\to M$ y $h:V\to N$. Tenemos por definición %\[ -%Alt^{k+1}(D_ph^{-1}\varphi)Alt^{k+1}(D_yh)(d_q w_{\varphi(p)})=Alt^{k+1}(D_p\varphi)(d_yw_{\varphi(p)}). +%d_qw=Alt^{k+1}((D_yh)^{-1})d_y(h^*(w))=Alt^{k+1}(D_qh^{-1})d_y(h^*(w)) %\] -% -Por otro lado, +%donde $y$ cumple $h(y)=q=\varphi(p)$, así que %\[ -%\varphi^*(w)_p=Alt^k(D_p\varphi)(w_{\varphi(p)}), +%\varphi^*(d_qw)_p=Alt^{k+1}(D_p\varphi)\circ Alt^{k+1}(D_qh^{-1})(d_yh^*(w))= %\] -%así que -eligiendo $x$ con $g(x)=p$ tenemos -\[ -d_p\varphi^*(w)=Alt^{k+1}((D_xg)^{-1})d_x(g^*(\varphi^*(w)))= -\] %\[ -%Alt^{k+1}(D_xg^{-1})d_x(Alt^k(D_xg)\circ Alt^k(D_p\varphi)(w_{\varphi(p)}))= +%Alt^{k+1}(D_qh^{-1}D_p\varphi)(d_yh^*(w))=Alt^{k+1}(D_ph^{-1}\varphi)(d_y(h^*(w)))= %\] +%%\[ +%%Alt^{k+1}(D_ph^{-1}\varphi)(d_yAlt^k(D_yh)(w_{h(y)})). +%%\] +%%Ahora, por la conmutatividad de $d$ con $\Omega^k(h)$ a nivel de complejo de cocadenas de abiertos euclídeos, esto es igual a +%%\[ +%%Alt^{k+1}(D_ph^{-1}\varphi)Alt^{k+1}(D_yh)(d_q w_{\varphi(p)})=Alt^{k+1}(D_p\varphi)(d_yw_{\varphi(p)}). +%%\] +%% +%Por otro lado, +%%\[ +%%\varphi^*(w)_p=Alt^k(D_p\varphi)(w_{\varphi(p)}), +%%\] +%%así que +%eligiendo $x$ con $g(x)=p$ tenemos %\[ -%Alt^{k+1}(D_xg^{-1})d_x(Alt^k(D_x\varphi g)(w_{\varphi(p)})=Alt^{k+1}(D_p\varphi)(d_x w_{\varphi(p)}) +%d_p\varphi^*(w)=Alt^{k+1}((D_xg)^{-1})d_x(g^*(\varphi^*(w)))= %\] - -SUPONGO QUE NO ME QUEDA MÁS REMEDIO QUE EVALUAR EN VECTORES -\end{solucion} +%%\[ +%%Alt^{k+1}(D_xg^{-1})d_x(Alt^k(D_xg)\circ Alt^k(D_p\varphi)(w_{\varphi(p)}))= +%%\] +%%\[ +%%Alt^{k+1}(D_xg^{-1})d_x(Alt^k(D_x\varphi g)(w_{\varphi(p)})=Alt^{k+1}(D_p\varphi)(d_x w_{\varphi(p)}) +%%\] +% +%SUPONGO QUE NO ME QUEDA MÁS REMEDIO QUE EVALUAR EN VECTORES +%\end{solucion} \newpage diff --git a/CV/lec5.tex b/CV/lec5.tex index f212721..f15df86 100644 --- a/CV/lec5.tex +++ b/CV/lec5.tex @@ -58,7 +58,7 @@ \section{Definiciones} \end{lemma} \begin{proof}\ \begin{enumerate} -\item Usamos el lema A9 libro para aproximar $h$ mediante una función diferenciable $f:U\to V$. Podemos elegir $f$ de modo que $V$ contenga el segmento de $h(x)$ a $f(x)$ para todo $x\in U$. Entonces $h\simeq f$ por el ejemplo \ref{segmento}. +\item Usamos el lema A9 del libro para aproximar $h$ mediante una función diferenciable $f:U\to V$. Podemos elegir $f$ de modo que $V$ contenga el segmento de $h(x)$ a $f(x)$ para todo $x\in U$. Entonces $h\simeq f$ por el ejemplo \ref{segmento}. \item Sea $G$ una homotopía de $f$ a $g$. Usamos una función continua $\psi:\R\to [0,1]$ con $\psi(t)=0$ para $t\leq\frac{1}{3}$ y $\psi(t)=1$ para $t\geq\frac{2}{3}$ para construir \[ H:U\times \R\to V; H(x,t)=G(x,\psi(t)). @@ -239,7 +239,7 @@ \section{Definiciones} De la invarianza topológica (\ref{6.9}) y del del corolario \ref{6.13}, junto con \[ -H^p(\R^1-\{0\}\cong\begin{cases} +H^p(\R^1-\{0\})\cong\begin{cases} \R\oplus\R & p=0\\ 0 & p\neq 0 \end{cases} diff --git a/CV/lec6.tex b/CV/lec6.tex index c178359..ab0c564 100644 --- a/CV/lec6.tex +++ b/CV/lec6.tex @@ -206,7 +206,7 @@ \section{Separación e invarianza de dominio} W\arrow[ur, "i"]\arrow[r] & U_2\arrow[u] \end{tikzcd} \] -y applicando $H^{n-1}$ obtenemos el diagrama conmutativo +y aplicando $H^{n-1}$ obtenemos el diagrama conmutativo \[ \begin{tikzcd} & H^{n-1}(\R^n-\{0\})\cong\R\arrow[dl, "H^{n-1}(i)"']\arrow[d]\\ diff --git a/MIOP/MIOP.tex b/MIOP/MIOP.tex index 6f9ceae..7b59fbd 100644 --- a/MIOP/MIOP.tex +++ b/MIOP/MIOP.tex @@ -1,5 +1,6 @@ \documentclass[twoside]{report} \usepackage{../estilo-apuntes} +\usepackage{mathtools} \rhead{Métodos de Investigación Operativa (Grado en Matemáticas)} \lhead{Curso 2017/2018} diff --git a/MIOP/Tema1.tex b/MIOP/Tema1.tex index 79e397b..ff3cb94 100644 --- a/MIOP/Tema1.tex +++ b/MIOP/Tema1.tex @@ -1,5 +1,4 @@ \documentclass[MIOP.tex]{subfiles} -\usepackage{mathtools} %\usepackage{sagetex} \begin{document} @@ -302,10 +301,10 @@ \subsection{Una reformulación alternativa} \[ \begin{tikzpicture} - \node[shape=rectangle,draw=black] (Z) at (-4,4) {$Etapa 1$}; - \node[shape=rectangle,draw=black] (Y) at (-1,4) {$Etapa 2$}; - \node[shape=rectangle,draw=black] (X) at (2,4) {$Etapa 3$}; - \node[shape=rectangle,draw=black] (W) at (5,4) {$Etapa 4$}; + \node[shape=rectangle,draw=black] (Z) at (-4,4) {$Etapa\ 1$}; + \node[shape=rectangle,draw=black] (Y) at (-1,4) {$Etapa\ 2$}; + \node[shape=rectangle,draw=black] (X) at (2,4) {$Etapa\ 3$}; + \node[shape=rectangle,draw=black] (W) at (5,4) {$Etapa\ 4$}; \node[shape=circle,draw=black] (A) at (-4,3) {$1,0$}; \node[shape=circle,draw=black] (B) at (-1,3) {$2,0$}; diff --git a/MIOP/Tema2.tex b/MIOP/Tema2.tex index 2d29f86..2439b53 100644 --- a/MIOP/Tema2.tex +++ b/MIOP/Tema2.tex @@ -1,5 +1,5 @@ \documentclass[MIOP.tex]{subfiles} -\usepackage{mathtools} + %\usepackage{sagetex} \begin{document} diff --git a/MIOP/Tema3.tex b/MIOP/Tema3.tex index 505008e..d88f49f 100644 --- a/MIOP/Tema3.tex +++ b/MIOP/Tema3.tex @@ -1,5 +1,5 @@ \documentclass[MIOP.tex]{subfiles} -\usepackage{mathtools} + %\usepackage{sagetex} \begin{document}