From a41eeda9c75da13d92d139d7e7c4edd365ec4475 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Hongyuan Du Date: Thu, 20 Aug 2020 02:35:35 -0700 Subject: [PATCH] (l + r) // 2 to l + (r - l) // 2; improved doc; added hidden binary search problems --- basic_algorithm/binary_search.md | 143 ++++++++++++------------------- 1 file changed, 56 insertions(+), 87 deletions(-) diff --git a/basic_algorithm/binary_search.md b/basic_algorithm/binary_search.md index 81c9d0c2..83b50904 100644 --- a/basic_algorithm/binary_search.md +++ b/basic_algorithm/binary_search.md @@ -1,24 +1,21 @@ # 二分搜索 -## 二分搜索模板 +给一个**有序数组**和目标值，找第一次/最后一次/任何一次出现的索引，时间复杂度 O(logN)。 -给一个**有序数组**和目标值，找第一次/最后一次/任何一次出现的索引，如果没有出现返回-1 +## 模板 -模板四点要素 +常用的二分搜索模板有如下三种形式： -- 1、初始化：start=0、end=len-1 -- 2、循环退出条件：start + 1 < end -- 3、比较中点和目标值：A[mid] ==、 <、> target -- 4、判断最后两个元素是否符合：A[start]、A[end] ? target - -时间复杂度 O(logn)，使用场景一般是有序数组的查找 +![binary_search_template](https://img.fuiboom.com/img/binary_search_template.png) -典型示例 +其中，模板 1 和 3 是最常用的，几乎所有二分查找问题都可以用其中之一轻松实现。模板 2 更高级一些，用于解决某些类型的问题。详细的对比可以参考 Leetcode 上的文章：[二分搜索模板](https://leetcode-cn.com/explore/learn/card/binary-search/212/template-analysis/847/)。 ### [binary-search](https://leetcode-cn.com/problems/binary-search/) > 给定一个  n  个元素有序的（升序）整型数组  nums 和一个目标值  target  ，写一个函数搜索  nums  中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。 +- 模板 3 的实现 + ```Python class Solution: def search(self, nums: List[int], target: int) -> int: @@ -26,7 +23,7 @@ class Solution: l, r = 0, len(nums) - 1 while l + 1 < r: - mid = (l + r) // 2 + mid = l + (r - l) // 2 if nums[mid] < target: l = mid else: @@ -40,25 +37,16 @@ class Solution: return -1 ``` -大部分二分查找类的题目都可以用这个模板，然后做一点特殊逻辑即可 - -另外二分查找还有一些其他模板如下图，大部分场景模板 3 都能解决问题，而且还能找第一次/最后一次出现的位置，应用更加广泛 - -![binary_search_template](https://img.fuiboom.com/img/binary_search_template.png) - -所以用模板#3 就对了，详细的对比可以这边文章介绍：[二分搜索模板](https://leetcode-cn.com/explore/learn/card/binary-search/212/template-analysis/847/) - -- 如果是最简单的二分搜索，不需要找第一个、最后一个位置、或者是没有重复元素，可以使用模板 1，代码更简洁 +- 如果是最简单的二分搜索，不需要找第一个、最后一个位置，或者是没有重复元素，可以使用模板 1，代码更简洁。同时，如果搜索失败，left 是第一个大于 target 的索引，right 是最后一个小于 target 的索引。 ```Python -# 无重复元素搜索时，更方便 class Solution: def search(self, nums: List[int], target: int) -> int: l, r = 0, len(nums) - 1 while l <= r: - mid = (l + r) // 2 + mid = l + (r - l) // 2 if nums[mid] == target: return mid elif nums[mid] > target: @@ -67,12 +55,9 @@ class Solution: l = mid + 1 return -1 -# 如果找不到，start 是第一个大于target的索引 -# 如果在B+树结构里面二分搜索，可以return start -# 这样可以继续向子节点搜索，如：node:=node.Children[start] ``` -- 模板 2： +- 模板 2 的实现 ```Python class Solution: @@ -81,7 +66,7 @@ class Solution: l, r = 0, len(nums) - 1 while l < r: - mid = (l + r) // 2 + mid = l + (r - l) // 2 if nums[mid] < target: l = mid + 1 else: @@ -93,18 +78,15 @@ class Solution: return -1 ``` - - ## 常见题目 ### [find-first-and-last-position-of-element-in-sorted-array](https://leetcode-cn.com/problems/find-first-and-last-position-of-element-in-sorted-array/) > 给定一个包含 n 个整数的排序数组，找出给定目标值 target 的起始和结束位置。如果目标值不在数组中，则返回`[-1, -1]` -- 思路：核心点就是找第一个 target 的索引，和最后一个 target 的索引，所以用两次二分搜索分别找第一次和最后一次的位置 +- 思路：核心点就是找第一个 target 的索引，和最后一个 target 的索引，所以用两次二分搜索分别找第一次和最后一次的位置，下面是使用模板 3 的解法 ```Python -# 使用模板3的解法 class Solution: def searchRange(self, nums, target): Range = [-1, -1] @@ -113,7 +95,7 @@ class Solution: l, r = 0, len(nums) - 1 while l + 1 < r: - mid = (l + r) // 2 + mid = l + (r - l) // 2 if nums[mid] < target: l = mid else: @@ -128,7 +110,7 @@ class Solution: l, r = 0, len(nums) - 1 while l + 1 < r: - mid = (l + r) // 2 + mid = l + (r - l) // 2 if nums[mid] <= target: l = mid else: @@ -153,7 +135,7 @@ class Solution: l, r = 0, len(nums) - 1 while l < r: - mid = (l + r) // 2 + mid = l + (r - l) // 2 if nums[mid] < target: l = mid + 1 else: @@ -166,7 +148,7 @@ class Solution: l, r = 0, len(nums) - 1 while l < r: - mid = (l + r + 1) // 2 + mid = l + (r - l + 1) // 2 if nums[mid] > target: r = mid - 1 else: @@ -180,7 +162,7 @@ class Solution: > 给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。 -思路：使用模板 1，若不存在，随后的左边界为第一个大于目标值的索引（插入位置），右边界为最后一个小于目标值的索引 +- 使用模板 1，若不存在，左边界为第一个大于目标值的索引（插入位置），右边界为最后一个小于目标值的索引 ```Python class Solution: @@ -189,7 +171,7 @@ class Solution: l, r = 0, len(nums) - 1 while l <= r: - mid = (l + r) // 2 + mid = l + (r - l) // 2 if nums[mid] == target: return mid elif nums[mid] > target: @@ -204,10 +186,11 @@ class Solution: > 编写一个高效的算法来判断  m x n  矩阵中，是否存在一个目标值。该矩阵具有如下特性： > -> - 每行中的整数从左到右按升序排列。 -> - 每行的第一个整数大于前一行的最后一个整数。 +> 1. 每行中的整数从左到右按升序排列。 +> +> 2. 每行的第一个整数大于前一行的最后一个整数。 -思路：两次二分，首先定位行数，接着定位列数 +- 两次二分，首先定位行数，接着定位列数 ```Python class Solution: @@ -219,7 +202,7 @@ class Solution: l, r = 0, len(matrix) - 1 while l <= r: - mid = (l + r) // 2 + mid = l + (r - l) // 2 if matrix[mid][0] == target: return True elif matrix[mid][0] < target: @@ -230,7 +213,7 @@ class Solution: row = r l, r = 0, len(matrix[0]) - 1 while l <= r: - mid = (l + r) // 2 + mid = l + (r - l) // 2 if matrix[row][mid] == target: return True elif matrix[row][mid] < target: @@ -241,36 +224,11 @@ class Solution: return False ``` -### [first-bad-version](https://leetcode-cn.com/problems/first-bad-version/) - -> 假设你有 n 个版本 [1, 2, ..., n]，你想找出导致之后所有版本出错的第一个错误的版本。 -> 你可以通过调用  bool isBadVersion(version)  接口来判断版本号 version 是否在单元测试中出错。实现一个函数来查找第一个错误的版本。你应该尽量减少对调用 API 的次数。 - -```Python -class Solution: - def firstBadVersion(self, n): - - l, r = 1, n - - while l + 1 < r: - mid = (l + r) // 2 - if isBadVersion(mid): - r = mid - else: - l = mid - - if isBadVersion(l): - return l - else: - return r -``` - ### [find-minimum-in-rotated-sorted-array](https://leetcode-cn.com/problems/find-minimum-in-rotated-sorted-array/) -> 假设按照升序排序的数组在预先未知的某个点上进行了旋转( 例如，数组  [0,1,2,4,5,6,7] 可能变为  [4,5,6,7,0,1,2] )。 -> 请找出其中最小的元素。假设数组中无重复元素。 +> 假设按照升序排序的数组在预先未知的某个点上进行了旋转，例如，数组 [0, 1, 2, 4, 5, 6, 7] 可能变为 [4, 5, 6, 7, 0, 1, 2]。请找出其中最小的元素。假设数组中无重复元素。 -思路：使用二分搜索，当中间元素大于右侧元素时意味着拐点即最小元素在右侧，否则在左侧 +- 使用二分搜索，当中间元素大于右侧元素时意味着拐点即最小元素在右侧，否则在左侧 ```Python class Solution: @@ -279,7 +237,7 @@ class Solution: l , r = 0, len(nums) - 1 while l < r: - mid = (l + r) // 2 + mid = l + (r - l) // 2 if nums[mid] > nums[r]: # 数组有重复时，若 nums[l] == nums[mid] == nums[r]，无法判断移动方向 l = mid + 1 else: @@ -290,9 +248,7 @@ class Solution: ### [find-minimum-in-rotated-sorted-array-ii](https://leetcode-cn.com/problems/find-minimum-in-rotated-sorted-array-ii/) -> 假设按照升序排序的数组在预先未知的某个点上进行了旋转 -> ( 例如，数组  [0,1,2,4,5,6,7] 可能变为  [4,5,6,7,0,1,2] )。 -> 请找出其中最小的元素。(包含重复元素) +> 假设按照升序排序的数组在预先未知的某个点上进行了旋转，例如，数组 [0, 1, 2, 4, 5, 6, 7] 可能变为 [4, 5, 6, 7, 0, 1, 2]。请找出其中最小的元素。数组中可能包含重复元素。 ```Python class Solution: @@ -301,7 +257,7 @@ class Solution: l , r = 0, len(nums) - 1 while l < r: - mid = (l + r) // 2 + mid = l + (r - l) // 2 if nums[mid] > nums[r]: l = mid + 1 elif nums[mid] < nums[r] or nums[mid] != nums[l]: @@ -314,10 +270,7 @@ class Solution: ### [search-in-rotated-sorted-array](https://leetcode-cn.com/problems/search-in-rotated-sorted-array/) -> 假设按照升序排序的数组在预先未知的某个点上进行了旋转。 -> ( 例如，数组  [0,1,2,4,5,6,7]  可能变为  [4,5,6,7,0,1,2] )。 -> 搜索一个给定的目标值，如果数组中存在这个目标值，则返回它的索引，否则返回  -1 。 -> 你可以假设数组中不存在重复的元素。 +> 假设按照升序排序的数组在预先未知的某个点上进行了旋转，例如，数组 [0, 1, 2, 4, 5, 6, 7] 可能变为 [4, 5, 6, 7, 0, 1, 2]。搜索一个给定的目标值，如果数组中存在这个目标值，则返回它的索引，否则返回  -1。假设数组中不存在重复的元素。 ```Python class Solution: @@ -326,7 +279,7 @@ class Solution: l , r = 0, len(nums) - 1 while l <= r: - mid = (l + r) // 2 + mid = l + (r - l) // 2 if nums[mid] == target: return mid elif nums[mid] > target: @@ -342,15 +295,9 @@ class Solution: return -1 ``` -注意点 - -> 面试时，可以直接画图进行辅助说明，空讲很容易让大家都比较蒙圈 - ### [search-in-rotated-sorted-array-ii](https://leetcode-cn.com/problems/search-in-rotated-sorted-array-ii/) -> 假设按照升序排序的数组在预先未知的某个点上进行了旋转。 -> ( 例如，数组  [0,0,1,2,2,5,6]  可能变为  [2,5,6,0,0,1,2] )。 -> 编写一个函数来判断给定的目标值是否存在于数组中。若存在返回  true，否则返回  false。(包含重复元素) +> 假设按照升序排序的数组在预先未知的某个点上进行了旋转，例如，数组 [0, 0, 1, 2, 2, 5, 6] 可能变为 [2, 5, 6, 0, 0, 1, 2]。编写一个函数来判断给定的目标值是否存在于数组中，若存在返回  true，否则返回  false。数组中可能包含重复元素。 ```Python class Solution: @@ -363,7 +310,7 @@ class Solution: l += 1 r -= 1 continue - mid = (l + r) // 2 + mid = l + (r - l) // 2 if nums[mid] == target: return True elif nums[mid] > target: @@ -379,6 +326,28 @@ class Solution: return False ``` +## 隐含的二分搜索 + +有时用到二分搜索的题目并不会直接给你一个有序数组，它隐含在题目中，需要你去发现或者构造。一类常见的隐含的二分搜索的问题是求某个有界数据的最值，以最小值为例，当数据比最小值大时都符合条件，比最小值小时都不符合条件，那么符合/不符合条件就构成了一种有序关系，再加上数据有界，我们就可以使用二分搜索来找数据的最小值。注意，数据的界一般也不会在题目中明确提示你，需要你自己去发现。 + +### [koko-eating-bananas](https://leetcode-cn.com/problems/koko-eating-bananas/) + +```Python +class Solution: + def minEatingSpeed(self, piles: List[int], H: int) -> int: + + l, r = 1, max(piles) + + while l < r: + mid = l + (r - l) // 2 + if sum([-pile // mid for pile in piles]) < -H: + l = mid + 1 + else: + r = mid + + return l +``` + ## 总结 二分搜索核心四点要素（必背&理解）