-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
Copy pathFFOL.lagda
383 lines (343 loc) · 21 KB
/
FFOL.lagda
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
\begin{code}
{-# OPTIONS --prop --rewriting #-}
open import PropUtil
module FFOL where
open import Agda.Primitive
open import ListUtil
variable
ℓ¹ ℓ² ℓ³ ℓ⁴ ℓ⁵ : Level
record FFOL : Set (lsuc (ℓ¹ ⊔ ℓ² ⊔ ℓ³ ⊔ ℓ⁴ ⊔ ℓ⁵)) where
infixr 10 _∘_
infixr 5 _⊢_
field
--# We first make the base category with its terminal object
Con : Set ℓ¹
Sub : Con → Con → Set ℓ⁵ -- It makes a category
_∘_ : {Γ Δ Ξ : Con} → Sub Δ Ξ → Sub Γ Δ → Sub Γ Ξ
∘-ass : {Γ Δ Ξ Ψ : Con}{α : Sub Γ Δ}{β : Sub Δ Ξ}{γ : Sub Ξ Ψ}
→ (γ ∘ β) ∘ α ≡ γ ∘ (β ∘ α)
id : {Γ : Con} → Sub Γ Γ
idl : {Γ Δ : Con} {σ : Sub Γ Δ} → (id {Δ}) ∘ σ ≡ σ
idr : {Γ Δ : Con} {σ : Sub Γ Δ} → σ ∘ (id {Γ}) ≡ σ
◇ : Con -- The terminal object of the category
ε : {Γ : Con} → Sub Γ ◇ -- The morphism from any object to the terminal
ε-u : {Γ : Con} → {σ : Sub Γ ◇} → σ ≡ ε {Γ}
--# Functor Con → Set called Tm
Tm : Con → Set ℓ²
_[_]t : {Γ Δ : Con} → Tm Γ → Sub Δ Γ → Tm Δ -- Action on morphisms
[]t-id : {Γ : Con} → {x : Tm Γ} → x [ id {Γ} ]t ≡ x
[]t-∘ : {Γ Δ Ξ : Con} → {α : Sub Ξ Δ}{β : Sub Δ Γ} → {t : Tm Γ}
→ t [ β ∘ α ]t ≡ (t [ β ]t) [ α ]t
--# Tm : Set⁺
_▹ₜ : Con → Con
πₜ¹ : {Γ Δ : Con} → Sub Δ (Γ ▹ₜ) → Sub Δ Γ
πₜ² : {Γ Δ : Con} → Sub Δ (Γ ▹ₜ) → Tm Δ
_,ₜ_ : {Γ Δ : Con} → Sub Δ Γ → Tm Δ → Sub Δ (Γ ▹ₜ)
πₜ²∘,ₜ : {Γ Δ : Con} → {σ : Sub Δ Γ} → {t : Tm Δ} → πₜ² (σ ,ₜ t) ≡ t
πₜ¹∘,ₜ : {Γ Δ : Con} → {σ : Sub Δ Γ} → {t : Tm Δ} → πₜ¹ (σ ,ₜ t) ≡ σ
,ₜ∘πₜ : {Γ Δ : Con} → {σ : Sub Δ (Γ ▹ₜ)} → (πₜ¹ σ) ,ₜ (πₜ² σ) ≡ σ
,ₜ∘ : {Γ Δ Ξ : Con}{σ : Sub Γ Ξ}{δ : Sub Δ Γ}{t : Tm Γ}
→ (σ ,ₜ t) ∘ δ ≡ (σ ∘ δ) ,ₜ (t [ δ ]t)
--# Functor Con → Set called For
For : Con → Set ℓ³
_[_]f : {Γ Δ : Con} → For Γ → Sub Δ Γ → For Δ -- Action on morphisms
[]f-id : {Γ : Con} → {F : For Γ} → F [ id {Γ} ]f ≡ F
[]f-∘ : {Γ Δ Ξ : Con} → {α : Sub Ξ Δ} → {β : Sub Δ Γ} → {F : For Γ}
→ F [ β ∘ α ]f ≡ (F [ β ]f) [ α ]f
--# Functor Con × For → Prop called Pf or ⊢
_⊢_ : (Γ : Con) → For Γ → Prop ℓ⁴
-- Action on morphisms
_[_]p : {Γ Δ : Con} → {F : For Γ} → Γ ⊢ F → (σ : Sub Δ Γ) → Δ ⊢ (F [ σ ]f)
--# Equalities below are useless because Γ ⊢ F is in prop
-- []p-id : {Γ : Con} → {F : For Γ} → {prf : Γ ⊢ F}
-- → prf [ id {Γ} ]p ≡ prf
-- []p-∘ : {Γ Δ Ξ : Con}{α : Sub Ξ Δ}{β : Sub Δ Γ}{F : For Γ}{prf : Γ ⊢ F}
-- → prf [ α ∘ β ]p ≡ (prf [ β ]p) [ α ]p
--# → Prop⁺
_▹ₚ_ : (Γ : Con) → For Γ → Con
πₚ¹ : {Γ Δ : Con}{F : For Γ} → Sub Δ (Γ ▹ₚ F) → Sub Δ Γ
πₚ² : {Γ Δ : Con}{F : For Γ} → (σ : Sub Δ (Γ ▹ₚ F)) → Δ ⊢ (F [ πₚ¹ σ ]f)
_,ₚ_ : {Γ Δ : Con}{F : For Γ} → (σ : Sub Δ Γ) → Δ ⊢ (F [ σ ]f) → Sub Δ (Γ ▹ₚ F)
--# And its equalities
,ₚ∘πₚ : {Γ Δ : Con}{F : For Γ}{σ : Sub Δ (Γ ▹ₚ F)} → (πₚ¹ σ) ,ₚ (πₚ² σ) ≡ σ
πₚ¹∘,ₚ : {Γ Δ : Con}{σ : Sub Δ Γ}{F : For Γ}{prf : Δ ⊢ (F [ σ ]f)}
→ πₚ¹ (σ ,ₚ prf) ≡ σ
-- Equality below is useless because Γ ⊢ F is in Prop
-- πₚ²∘,ₚ : {Γ Δ : Con}{σ : Sub Δ Γ}{F : For Γ}{prf : Δ ⊢ (F [ σ ]f)}
-- → πₚ² (σ ,ₚ prf) ≡ prf
,ₚ∘ : {Γ Δ Ξ : Con}{σ : Sub Γ Ξ}{δ : Sub Δ Γ}{F : For Ξ}{prf : Γ ⊢ (F [ σ ]f)}
→ (σ ,ₚ prf) ∘ δ ≡ (σ ∘ δ) ,ₚ (substP (λ F → Δ ⊢ F) (≡sym []f-∘) (prf [ δ ]p))
--#
{-- FORMULAE CONSTRUCTORS --}
--# Formulas with relation on terms
R : {Γ : Con} → (t u : Tm Γ) → For Γ
R[] : {Γ Δ : Con} → {σ : Sub Δ Γ} → {t u : Tm Γ}
→ (R t u) [ σ ]f ≡ R (t [ σ ]t) (u [ σ ]t)
--# Implication
_⇒_ : {Γ : Con} → For Γ → For Γ → For Γ
[]f-⇒ : {Γ Δ : Con} → {F G : For Γ} → {σ : Sub Δ Γ}
→ (F ⇒ G) [ σ ]f ≡ (F [ σ ]f) ⇒ (G [ σ ]f)
--# Forall
∀∀ : {Γ : Con} → For (Γ ▹ₜ) → For Γ
[]f-∀∀ : {Γ Δ : Con} → {F : For (Γ ▹ₜ)} → {σ : Sub Δ Γ}
→ (∀∀ F) [ σ ]f ≡ (∀∀ (F [ (σ ∘ πₜ¹ id) ,ₜ πₜ² id ]f))
--#
{-- PROOFS CONSTRUCTORS --}
-- Again, we don't have to write the _[_]p equalities as Proofs are in Prop
--# Lam & App
lam : {Γ : Con}{F G : For Γ} → (Γ ▹ₚ F) ⊢ (G [ πₚ¹ id ]f) → Γ ⊢ (F ⇒ G)
app : {Γ : Con}{F G : For Γ} → Γ ⊢ (F ⇒ G) → Γ ⊢ F → Γ ⊢ G
--# ∀i and ∀e
∀i : {Γ : Con}{F : For (Γ ▹ₜ)} → (Γ ▹ₜ) ⊢ F → Γ ⊢ (∀∀ F)
∀e : {Γ : Con}{F : For (Γ ▹ₜ)} → Γ ⊢ (∀∀ F) → {t : Tm Γ} → Γ ⊢ ( F [(id {Γ}) ,ₜ t ]f)
--# Examples
-- Proof utils
forall-in : {Γ Δ : Con} {σ : Sub Γ Δ} {A : For (Δ ▹ₜ)} → Γ ⊢ ∀∀ (A [ (σ ∘ πₜ¹ id) ,ₜ πₜ² id ]f) → Γ ⊢ (∀∀ A [ σ ]f)
forall-in {Γ = Γ} f = substP (λ F → Γ ⊢ F) (≡sym ([]f-∀∀)) f
wkₜ : {Γ : Con} → Sub (Γ ▹ₜ) Γ
wkₜ = πₜ¹ id
0ₜ : {Γ : Con} → Tm (Γ ▹ₜ)
0ₜ = πₜ² id
1ₜ : {Γ : Con} → Tm (Γ ▹ₜ ▹ₜ)
1ₜ = πₜ² (πₜ¹ id)
wkₚ : {Γ : Con} {A : For Γ} → Sub (Γ ▹ₚ A) Γ
wkₚ = πₚ¹ id
0ₚ : {Γ : Con} {A : For Γ} → Γ ▹ₚ A ⊢ A [ πₚ¹ id ]f
0ₚ = πₚ² id
-- Examples
ex0 : {A : For ◇} → ◇ ⊢ (A ⇒ A)
ex0 {A = A} = lam 0ₚ
{-
ex1 : {A : For (◇ ▹ₜ)} → ◇ ⊢ ((∀∀ A) ⇒ (∀∀ A))
-- πₚ¹ id is adding an unused variable (syntax's llift)
ex1 {A = A} = lam (forall-in (∀i (substP (λ σ → ((◇ ▹ₚ ∀∀ A) ▹ₜ) ⊢ (A [ σ ]f)) {!!} {!!})))
-- (∀ x ∀ y . A(y,x)) ⇒ ∀ x ∀ y . A(x,y)
-- translation is (∀ ∀ A(0,1)) => (∀ ∀ A(1,0))
ex1' : {A : For (◇ ▹ₜ ▹ₜ)} → ◇ ⊢ ((∀∀ (∀∀ A)) ⇒ ∀∀ (∀∀ ( A [ (ε ,ₜ 0ₜ) ,ₜ 1ₜ ]f)))
ex1' = {!!}
-- (A ⇒ ∀ x . B(x)) ⇒ ∀ x . A ⇒ B(x)
ex2 : {A : For ◇} → {B : For (◇ ▹ₜ)} → ◇ ⊢ ((A ⇒ (∀∀ B)) ⇒ (∀∀ ((A [ wkₜ ]f) ⇒ B)))
ex2 = {!!}
-- ∀ x y . A(x,y) ⇒ ∀ x . A(x,x)
-- For simplicity, I swiched positions of parameters of A (somehow...)
ex3 : {A : For (◇ ▹ₜ ▹ₜ)} → ◇ ⊢ ((∀∀ (∀∀ A)) ⇒ (∀∀ (A [ id ,ₜ 0ₜ ]f)))
ex3 = {!!}
-- ∀ x . A (x) ⇒ ∀ x y . A(x)
ex4 : {A : For (◇ ▹ₜ)} → ◇ ⊢ ((∀∀ A) ⇒ (∀∀ (∀∀ (A [ ε ,ₜ 1ₜ ]f))))
ex4 = {!!}
-- (((∀ x . A (x)) ⇒ B)⇒ B) ⇒ ∀ x . ((A (x) ⇒ B) ⇒ B)
ex5 : {A : For (◇ ▹ₜ)} → {B : For ◇} → ◇ ⊢ ((((∀∀ A) ⇒ B) ⇒ B) ⇒ (∀∀ ((A ⇒ (B [ wkₜ ]f)) ⇒ (B [ wkₜ ]f))))
ex5 = {!!}
-}
record Mapping (S : FFOL {ℓ¹} {ℓ²} {ℓ³} {ℓ⁴} {ℓ⁵}) (D : FFOL {ℓ¹} {ℓ²} {ℓ³} {ℓ⁴} {ℓ⁵}) : Set (lsuc (ℓ¹ ⊔ ℓ² ⊔ ℓ³ ⊔ ℓ⁴ ⊔ ℓ⁵)) where
field
-- We first make the base category with its final object
mCon : (FFOL.Con S) → (FFOL.Con D)
mSub : {Δ : (FFOL.Con S)}{Γ : (FFOL.Con S)} → (FFOL.Sub S Δ Γ) → (FFOL.Sub D (mCon Δ) (mCon Γ))
mTm : {Γ : (FFOL.Con S)} → (FFOL.Tm S Γ) → (FFOL.Tm D (mCon Γ))
mFor : {Γ : (FFOL.Con S)} → (FFOL.For S Γ) → (FFOL.For D (mCon Γ))
m⊢ : {Γ : (FFOL.Con S)} {A : FFOL.For S Γ} → FFOL._⊢_ S Γ A → FFOL._⊢_ D (mCon Γ) (mFor A)
record Morphism (S : FFOL {ℓ¹} {ℓ²} {ℓ³} {ℓ⁴} {ℓ⁵}) (D : FFOL {ℓ¹} {ℓ²} {ℓ³} {ℓ⁴} {ℓ⁵}) : Set (lsuc (ℓ¹ ⊔ ℓ² ⊔ ℓ³ ⊔ ℓ⁴ ⊔ ℓ⁵)) where
field m : Mapping S D
mCon = Mapping.mCon m
mSub = Mapping.mSub m
mTm = Mapping.mTm m
mFor = Mapping.mFor m
m⊢ = Mapping.m⊢ m
field
e∘ : {Γ Δ Ξ : FFOL.Con S}{δ : FFOL.Sub S Δ Ξ}{σ : FFOL.Sub S Γ Δ} → mSub (FFOL._∘_ S δ σ) ≡ FFOL._∘_ D (mSub δ) (mSub σ)
eid : {Γ : FFOL.Con S} → mSub (FFOL.id S {Γ}) ≡ FFOL.id D {mCon Γ}
e◇ : mCon (FFOL.◇ S) ≡ FFOL.◇ D
eε : {Γ : FFOL.Con S} → mSub (FFOL.ε S {Γ}) ≡ subst (FFOL.Sub D (mCon Γ)) (≡sym e◇) (FFOL.ε D {mCon Γ})
e[]t : {Γ Δ : FFOL.Con S}{t : FFOL.Tm S Γ}{σ : FFOL.Sub S Δ Γ} → mTm (FFOL._[_]t S t σ) ≡ FFOL._[_]t D (mTm t) (mSub σ)
e▹ₜ : {Γ : FFOL.Con S} → mCon (FFOL._▹ₜ S Γ) ≡ FFOL._▹ₜ D (mCon Γ)
eπₜ¹ : {Γ Δ : FFOL.Con S}{σ : FFOL.Sub S Δ (FFOL._▹ₜ S Γ)} → mSub (FFOL.πₜ¹ S σ) ≡ FFOL.πₜ¹ D (subst (FFOL.Sub D (mCon Δ)) e▹ₜ (mSub σ))
eπₜ² : {Γ Δ : FFOL.Con S}{σ : FFOL.Sub S Δ (FFOL._▹ₜ S Γ)} → mTm (FFOL.πₜ² S σ) ≡ FFOL.πₜ² D (subst (FFOL.Sub D (mCon Δ)) e▹ₜ (mSub σ))
e,ₜ : {Γ Δ : FFOL.Con S}{σ : FFOL.Sub S Δ Γ}{t : FFOL.Tm S Δ} → mSub (FFOL._,ₜ_ S σ t) ≡ subst (FFOL.Sub D (mCon Δ)) (≡sym e▹ₜ) (FFOL._,ₜ_ D (mSub σ) (mTm t))
e[]f : {Γ Δ : FFOL.Con S}{A : FFOL.For S Γ}{σ : FFOL.Sub S Δ Γ} → mFor (FFOL._[_]f S A σ) ≡ FFOL._[_]f D (mFor A) (mSub σ)
-- Proofs are in prop, so no equation needed
--[]p : {Γ Δ : FFOL.Con S}{A : FFOL.For S Γ}{pf : FFOL._⊢_ S Γ A}{σ : FFOL.Sub S Δ Γ} → m⊢ (FFOL._[_]p S pf σ) ≡ FFOL._[_]p D (m⊢ pf) (mSub σ)
e▹ₚ : {Γ : FFOL.Con S}{A : FFOL.For S Γ} → mCon (FFOL._▹ₚ_ S Γ A) ≡ FFOL._▹ₚ_ D (mCon Γ) (mFor A)
eπₚ¹ : {Γ Δ : FFOL.Con S}{A : FFOL.For S Γ}{σ : FFOL.Sub S Δ (FFOL._▹ₚ_ S Γ A)} → mSub (FFOL.πₚ¹ S σ) ≡ FFOL.πₚ¹ D (subst (FFOL.Sub D (mCon Δ)) e▹ₚ (mSub σ))
--πₚ² : {Γ Δ : FFOL.Con S}{A : FFOL.For S Γ}{σ : FFOL.Sub S Δ (FFOL._▹ₚ_ S Γ A)} → m⊢ (FFOL.πₚ² S σ) ≡ FFOL.πₚ¹ D (subst (FFOL.Sub D (mCon Δ)) ▹ₚ (mSub σ))
e,ₚ : {Γ Δ : FFOL.Con S}{A : FFOL.For S Γ}{σ : FFOL.Sub S Δ Γ}{pf : FFOL._⊢_ S Δ (FFOL._[_]f S A σ)}
→ mSub (FFOL._,ₚ_ S σ pf) ≡ subst (FFOL.Sub D (mCon Δ)) (≡sym e▹ₚ) (FFOL._,ₚ_ D (mSub σ) (substP (FFOL._⊢_ D (mCon Δ)) e[]f (m⊢ pf)))
eR : {Γ : FFOL.Con S}{t u : FFOL.Tm S Γ} → mFor (FFOL.R S t u) ≡ FFOL.R D (mTm t) (mTm u)
e⇒ : {Γ : FFOL.Con S}{A B : FFOL.For S Γ} → mFor (FFOL._⇒_ S A B) ≡ FFOL._⇒_ D (mFor A) (mFor B)
e∀∀ : {Γ : FFOL.Con S}{A : FFOL.For S (FFOL._▹ₜ S Γ)} → mFor (FFOL.∀∀ S A) ≡ FFOL.∀∀ D (subst (FFOL.For D) e▹ₜ (mFor A))
-- No equation needed for lam, app, ∀i, ∀e as their output are in prop
record Tarski : Set₁ where
field
TM : Set
REL : TM → TM → Prop
infixr 10 _∘_
Con = Set
Sub : Con → Con → Set
Sub Γ Δ = (Γ → Δ) -- It makes a posetal category
_∘_ : {Γ Δ Ξ : Con} → Sub Δ Ξ → Sub Γ Δ → Sub Γ Ξ
f ∘ g = λ x → f (g x)
id : {Γ : Con} → Sub Γ Γ
id = λ x → x
ε : {Γ : Con} → Sub Γ ⊤ₛ -- The morphism from the initial to any object
ε Γ = ttₛ
ε-u : {Γ : Con} → {σ : Sub Γ ⊤ₛ} → σ ≡ ε {Γ}
ε-u = refl
-- Functor Con → Set called Tm
Tm : Con → Set
Tm Γ = Γ → TM
_[_]t : {Γ Δ : Con} → Tm Γ → Sub Δ Γ → Tm Δ -- The functor's action on morphisms
t [ σ ]t = λ γ → t (σ γ)
[]t-id : {Γ : Con} → {x : Tm Γ} → x [ id {Γ} ]t ≡ x
[]t-id = refl
[]t-∘ : {Γ Δ Ξ : Con} → {α : Sub Ξ Δ} → {β : Sub Δ Γ} → {t : Tm Γ} → t [ β ∘ α ]t ≡ (t [ β ]t) [ α ]t
[]t-∘ {α = α} {β} {t} = refl {_} {_} {λ z → t (β (α z))}
_[_]tz : {Γ Δ : Con} → {n : Nat} → Array (Tm Γ) n → Sub Δ Γ → Array (Tm Δ) n
tz [ σ ]tz = map (λ s → s [ σ ]t) tz
[]tz-∘ : {Γ Δ Ξ : Con} → {α : Sub Ξ Δ} → {β : Sub Δ Γ} → {n : Nat} → {tz : Array (Tm Γ) n} → tz [ β ∘ α ]tz ≡ tz [ β ]tz [ α ]tz
[]tz-∘ {tz = zero} = refl
[]tz-∘ {α = α} {β = β} {tz = next x tz} = substP (λ tz' → (next ((x [ β ]t) [ α ]t) tz') ≡ (((next x tz) [ β ]tz) [ α ]tz)) (≡sym ([]tz-∘ {α = α} {β = β} {tz = tz})) refl
[]tz-id : {Γ : Con} → {n : Nat} → {tz : Array (Tm Γ) n} → tz [ id ]tz ≡ tz
[]tz-id {tz = zero} = refl
[]tz-id {tz = next x tz} = substP (λ tz' → next x tz' ≡ next x tz) (≡sym ([]tz-id {tz = tz})) refl
thm : {Γ Δ : Con} → {n : Nat} → {tz : Array (Tm Γ) n} → {σ : Sub Δ Γ} → {δ : Δ} → map (λ t → t δ) (tz [ σ ]tz) ≡ map (λ t → t (σ δ)) tz
thm {tz = zero} = refl
thm {tz = next x tz} {σ} {δ} = substP (λ tz' → (next (x (σ δ)) (map (λ t → t δ) (map (λ s γ → s (σ γ)) tz))) ≡ (next (x (σ δ)) tz')) (thm {tz = tz}) refl
-- Tm⁺
_▹ₜ : Con → Con
Γ ▹ₜ = Γ × TM
πₜ¹ : {Γ Δ : Con} → Sub Δ (Γ ▹ₜ) → Sub Δ Γ
πₜ¹ σ = λ x → proj×₁ (σ x)
πₜ² : {Γ Δ : Con} → Sub Δ (Γ ▹ₜ) → Tm Δ
πₜ² σ = λ x → proj×₂ (σ x)
_,ₜ_ : {Γ Δ : Con} → Sub Δ Γ → Tm Δ → Sub Δ (Γ ▹ₜ)
σ ,ₜ t = λ x → (σ x) ,× (t x)
πₜ²∘,ₜ : {Γ Δ : Con} → {σ : Sub Δ Γ} → {t : Tm Δ} → πₜ² (σ ,ₜ t) ≡ t
πₜ²∘,ₜ {σ = σ} {t} = refl {a = t}
πₜ¹∘,ₜ : {Γ Δ : Con} → {σ : Sub Δ Γ} → {t : Tm Δ} → πₜ¹ (σ ,ₜ t) ≡ σ
πₜ¹∘,ₜ = refl
,ₜ∘πₜ : {Γ Δ : Con} → {σ : Sub Δ (Γ ▹ₜ)} → (πₜ¹ σ) ,ₜ (πₜ² σ) ≡ σ
,ₜ∘πₜ = refl
,ₜ∘ : {Γ Δ Ξ : Con}{σ : Sub Γ Ξ}{δ : Sub Δ Γ}{t : Tm Γ} → (σ ,ₜ t) ∘ δ ≡ (σ ∘ δ) ,ₜ (t [ δ ]t)
,ₜ∘ = refl
-- Functor Con → Set called For
For : Con → Set₁
For Γ = Γ → Prop
_[_]f : {Γ Δ : Con} → For Γ → Sub Δ Γ → For Δ
F [ σ ]f = λ x → F (σ x)
[]f-id : {Γ : Con} → {F : For Γ} → F [ id {Γ} ]f ≡ F
[]f-id = refl
[]f-∘ : {Γ Δ Ξ : Con} → {α : Sub Ξ Δ} → {β : Sub Δ Γ} → {F : For Γ} → F [ β ∘ α ]f ≡ (F [ β ]f) [ α ]f
[]f-∘ = refl
R : {Γ : Con} → Tm Γ → Tm Γ → For Γ
R t u = λ γ → REL (t γ) (u γ)
R[] : {Γ Δ : Con} → {σ : Sub Δ Γ} → {t u : Tm Γ} → (R t u) [ σ ]f ≡ R (t [ σ ]t) (u [ σ ]t)
R[] {σ = σ} = cong₂ R refl refl
-- Proofs
_⊢_ : (Γ : Con) → For Γ → Prop
Γ ⊢ F = ∀ (γ : Γ) → F γ
_[_]p : {Γ Δ : Con} → {F : For Γ} → Γ ⊢ F → (σ : Sub Δ Γ) → Δ ⊢ (F [ σ ]f)
prf [ σ ]p = λ γ → prf (σ γ)
-- Two rules are irrelevent beccause Γ ⊢ F is in Prop
-- → Prop⁺
_▹ₚ_ : (Γ : Con) → For Γ → Con
Γ ▹ₚ F = Γ ×'' F
πₚ¹ : {Γ Δ : Con} → {F : For Γ} → Sub Δ (Γ ▹ₚ F) → Sub Δ Γ
πₚ¹ σ δ = proj×''₁ (σ δ)
πₚ² : {Γ Δ : Con} → {F : For Γ} → (σ : Sub Δ (Γ ▹ₚ F)) → Δ ⊢ (F [ πₚ¹ σ ]f)
πₚ² σ δ = proj×''₂ (σ δ)
_,ₚ_ : {Γ Δ : Con} → {F : For Γ} → (σ : Sub Δ Γ) → Δ ⊢ (F [ σ ]f) → Sub Δ (Γ ▹ₚ F)
_,ₚ_ {F = F} σ pf δ = (σ δ) ,×'' pf δ
,ₚ∘πₚ : {Γ Δ : Con} → {F : For Γ} → {σ : Sub Δ (Γ ▹ₚ F)} → (πₚ¹ σ) ,ₚ (πₚ² σ) ≡ σ
,ₚ∘πₚ = refl
πₚ¹∘,ₚ : {Γ Δ : Con} → {σ : Sub Δ Γ} → {F : For Γ} → {prf : Δ ⊢ (F [ σ ]f)} → πₚ¹ {Γ} {Δ} {F} (σ ,ₚ prf) ≡ σ
πₚ¹∘,ₚ = refl
,ₚ∘ : {Γ Δ Ξ : Con}{σ : Sub Γ Ξ}{δ : Sub Δ Γ}{F : For Ξ}{prf : Γ ⊢ (F [ σ ]f)} →
(_,ₚ_ {F = F} σ prf) ∘ δ ≡ (σ ∘ δ) ,ₚ (substP (λ F → Δ ⊢ F) (≡sym ([]f-∘ {α = δ} {β = σ} {F = F})) (prf [ δ ]p))
,ₚ∘ {Γ} {Δ} {Ξ} {σ} {δ} {F} {prf} = refl
-- Implication
_⇒_ : {Γ : Con} → For Γ → For Γ → For Γ
F ⇒ G = λ γ → (F γ) → (G γ)
[]f-⇒ : {Γ Δ : Con} → {F G : For Γ} → {σ : Sub Δ Γ} → (F ⇒ G) [ σ ]f ≡ (F [ σ ]f) ⇒ (G [ σ ]f)
[]f-⇒ = refl
-- Forall
∀∀ : {Γ : Con} → For (Γ ▹ₜ) → For Γ
∀∀ {Γ} F = λ (γ : Γ) → (∀ (t : TM) → F (γ ,× t))
[]f-∀∀ : {Γ Δ : Con} → {F : For (Γ ▹ₜ)} → {σ : Sub Δ Γ} → (∀∀ F) [ σ ]f ≡ (∀∀ (F [ (σ ∘ πₜ¹ id) ,ₜ πₜ² id ]f))
[]f-∀∀ {Γ} {Δ} {F} {σ} = refl
-- Lam & App
lam : {Γ : Con} → {F : For Γ} → {G : For Γ} → (Γ ▹ₚ F) ⊢ (G [ πₚ¹ id ]f) → Γ ⊢ (F ⇒ G)
lam pf = λ γ x → pf (γ ,×'' x)
app : {Γ : Con} → {F G : For Γ} → Γ ⊢ (F ⇒ G) → Γ ⊢ F → Γ ⊢ G
app pf pf' = λ γ → pf γ (pf' γ)
-- Again, we don't write the _[_]p equalities as everything is in Prop
-- ∀i and ∀e
∀i : {Γ : Con} → {F : For (Γ ▹ₜ)} → (Γ ▹ₜ) ⊢ F → Γ ⊢ (∀∀ F)
∀i p γ = λ t → p (γ ,× t)
∀e : {Γ : Con} → {F : For (Γ ▹ₜ)} → Γ ⊢ (∀∀ F) → {t : Tm Γ} → Γ ⊢ ( F [(id {Γ}) ,ₜ t ]f)
∀e p {t} γ = p γ (t γ)
tod : FFOL
tod = record
{ Con = Con
; Sub = Sub
; _∘_ = _∘_
; ∘-ass = refl
; id = id
; idl = refl
; idr = refl
; ◇ = ⊤ₛ
; ε = ε
; ε-u = refl
; Tm = Tm
; _[_]t = _[_]t
; []t-id = []t-id
; []t-∘ = λ {Γ} {Δ} {Ξ} {α} {β} {t} → []t-∘ {Γ} {Δ} {Ξ} {α} {β} {t}
; _▹ₜ = _▹ₜ
; πₜ¹ = πₜ¹
; πₜ² = πₜ²
; _,ₜ_ = _,ₜ_
; πₜ²∘,ₜ = λ {Γ} {Δ} {σ} → πₜ²∘,ₜ {Γ} {Δ} {σ}
; πₜ¹∘,ₜ = λ {Γ} {Δ} {σ} {t} → πₜ¹∘,ₜ {Γ} {Δ} {σ} {t}
; ,ₜ∘πₜ = ,ₜ∘πₜ
; ,ₜ∘ = λ {Γ} {Δ} {Ξ} {σ} {δ} {t} → ,ₜ∘ {Γ} {Δ} {Ξ} {σ} {δ} {t}
; For = For
; _[_]f = _[_]f
; []f-id = []f-id
; []f-∘ = λ {Γ} {Δ} {Ξ} {α} {β} {F} → []f-∘ {Γ} {Δ} {Ξ} {α} {β} {F}
; _⊢_ = _⊢_
; _[_]p = _[_]p
; _▹ₚ_ = _▹ₚ_
; πₚ¹ = πₚ¹
; πₚ² = πₚ²
; _,ₚ_ = _,ₚ_
; ,ₚ∘πₚ = ,ₚ∘πₚ
; πₚ¹∘,ₚ = λ {Γ} {Δ} {F} {σ} {p} → πₚ¹∘,ₚ {Γ} {Δ} {F} {σ} {p}
; ,ₚ∘ = λ {Γ} {Δ} {Ξ} {σ} {δ} {F} {prf} → ,ₚ∘ {Γ} {Δ} {Ξ} {σ} {δ} {F} {prf}
; _⇒_ = _⇒_
; []f-⇒ = λ {Γ} {F} {G} {σ} → []f-⇒ {Γ} {F} {G} {σ}
; ∀∀ = ∀∀
; []f-∀∀ = λ {Γ} {Δ} {F} {σ} → []f-∀∀ {Γ} {Δ} {F} {σ}
; lam = lam
; app = app
; ∀i = ∀i
; ∀e = ∀e
; R = R
; R[] = λ {Γ} {Δ} {σ} {t} {u} → R[] {Γ} {Δ} {σ} {t} {u}
}
-- (∀ x ∀ y . A(x,y)) ⇒ ∀ y ∀ x . A(y,x)
-- both sides are ∀ ∀ A (0,1)
ex1 : {A : For (⊤ₛ ▹ₜ ▹ₜ)} → ⊤ₛ ⊢ ((∀∀ (∀∀ A)) ⇒ (∀∀ (∀∀ A)))
ex1 _ hyp = hyp
-- (A ⇒ ∀ x . B(x)) ⇒ ∀ x . A ⇒ B(x)
ex2 : {A : For ⊤ₛ} → {B : For (⊤ₛ ▹ₜ)} → ⊤ₛ ⊢ ((A ⇒ (∀∀ B)) ⇒ (∀∀ ((A [ πₜ¹ id ]f) ⇒ B)))
ex2 _ h t h' = h h' t
-- ∀ x y . A(x,y) ⇒ ∀ x . A(x,x)
-- For simplicity, I swiched positions of parameters of A (somehow...)
ex3 : {A : For (⊤ₛ ▹ₜ ▹ₜ)} → ⊤ₛ ⊢ ((∀∀ (∀∀ A)) ⇒ (∀∀ (A [ id ,ₜ (πₜ² id) ]f)))
ex3 _ h t = h t t
-- ∀ x . A (x) ⇒ ∀ x y . A(x)
ex4 : {A : For (⊤ₛ ▹ₜ)} → ⊤ₛ ⊢ ((∀∀ A) ⇒ (∀∀ (∀∀ (A [ ε ,ₜ (πₜ² (πₜ¹ id)) ]f))))
ex4 {A} ◇◇ x t t' = x t
-- (((∀ x . A (x)) ⇒ B)⇒ B) ⇒ ∀ x . ((A (x) ⇒ B) ⇒ B)
ex5 : {A : For (⊤ₛ ▹ₜ)} → {B : For ⊤ₛ} → ⊤ₛ ⊢ ((((∀∀ A) ⇒ B) ⇒ B) ⇒ (∀∀ ((A ⇒ (B [ πₜ¹ id ]f)) ⇒ (B [ πₜ¹ id ]f))))
ex5 ◇◇ h t h' = h (λ h'' → h' (h'' t))
\end{code}