-->
@@ -1945,9 +1945,9 @@
-->
@@ -1965,8 +1965,8 @@
-->
@@ -1984,9 +1984,9 @@
-->
@@ -2008,59 +2008,20 @@
推导新的凸包坐标
-->
-
- 
-
- 
-
- 
+
+
+
以上变形可行是因为[M · M-1推导新的凸包坐标
-->
很好！现在得出新的二次曲线：
@@ -2099,8 +2060,8 @@推导新的凸包坐标
-->
@@ -2115,8 +2076,8 @@ 推导新的凸包坐标
-->
@@ -2132,8 +2093,8 @@ 推导新的凸包坐标
-->
@@ -2160,8 +2121,8 @@ 推导新的凸包坐标
-->
@@ -2176,8 +2137,8 @@ 推导新的凸包坐标
-->
@@ -2193,8 +2154,8 @@ 推导新的凸包坐标
-->
@@ -2209,8 +2170,8 @@ 推导新的凸包坐标
-->
@@ -2225,8 +2186,8 @@ 推导新的凸包坐标
-->
@@ -2242,8 +2203,8 @@ 推导新的凸包坐标
-->
@@ -2258,8 +2219,8 @@ 推导新的凸包坐标
-->
@@ -2275,8 +2236,8 @@ 推导新的凸包坐标
-->
@@ -2302,8 +2263,8 @@ 推导新的凸包坐标
-->
@@ -2320,8 +2281,8 @@ 推导新的凸包坐标
-->
@@ -2341,8 +2302,8 @@ 推导新的凸包坐标
-->
@@ -2362,9 +2323,9 @@ 推导新的凸包坐标
-->
@@ -2386,16 +2347,9 @@
如果有一条二次曲线，那么可以如下构造三次曲线精确重现原来的曲线：首先选择相同的起点和终点，然后两个控制点分别选为“1/3起点+2/3终点”和“2/3起点+1/3终点”。所得曲线与原来的相同，只不过表示为了三次曲线而不是二次曲线。
将n次曲线升为n+1次曲线的一般规则如下（注意起点和终点的权重与旧曲线的相同）：
- -
+
然而这一规则也直接意味着通常无法将n次曲线稳妥地降到n-1次，这是因为控制点无法被简洁地“拆开”。可以做些尝试，但所得曲线不会与原曲线重合，而且其实还可能看起来完全不同。
@@ -2406,13 +2360,9 @@>中亦有解释），但是为了用上这种方法，需要先做些变形再转用线性代数。正如矩阵表示一章所言，有些东西用矩阵去做比用函数方便得多，而这就是一例。那么……开始吧！
先将标准的贝塞尔函数写得紧凑一些：
- -
+
然后用一个朴素（其实极其有用）的变形技巧：既然t值总在0到1之间（含端点），且1-t加t恒等于1，那么任何数都可表示为t与1-t的和：
x = 1 x = ((1-t) + t) x = (1-t) x + t x = x (1-t) + x t
-->
- 
+ 
于是用这一看似平凡的性质可将贝塞尔函数拆分为1-t和t两部分之和：
+ 
目前一切顺利。现在为了理解为什么这么做，将1-t和t两部分具体写出并观察结果。首先是1-t：
+
用这一看似朴素的技巧瞬间就将n次贝塞尔函数的一个部分用n+1次贝塞尔函数表示出来了，这非常像曲线升次！当然t的部分也要表示出来，但这不是问题：
+
将n次的表达式变为n+1次的之后再将其重新合并。虽然n次函数是从0到n求和，n+1次函数是从0到n+1求和，但补上“贡献为零”的项即可。下一章“导数”会论述为什么“没有对应的二项式系数的更高次项”和“低于零次的项”都“贡献为零”，因此需要什么形式的项就可以加上什么项。将这些项包含在和式中没有影响，而所得函数与低次曲线依然相等：
+
接下来从变形转到线性代数（矩阵）——现在Bézier(n,t)和Bézier(n+1,t)之间的关系可用非常简单的矩阵乘法表示：
-
+ 
其中矩阵M为(n+1)×n阶的矩阵，其形如：
@@ -2573,9 +2463,9 @@
-->
其中的步骤为：
@@ -2630,8 +2520,8 @@
-->
@@ -2644,8 +2534,8 @@
-->
@@ -2662,134 +2552,39 @@ “慢着，为什么这是对的？”
@@ -2662,134 +2552,39 @@ “慢着，为什么这是对的？”
虽然有时候有人告诉说“这是导数”就行，但还是可能想一探究竟。既然如此，就来看看这个导数的证明。首先，因为权重不影响完整的贝塞尔函数的求导，所以求导只涉及多项式基函数的导数。基函数的导数为：
- -
+
-
- 
+
上式不易处理，因此打开括号：
- -
+
现在技巧性的一步是将上式再次化为含二项式系数的形式，需要得到形如“x!/y!(x-y)!”的项。如果得到关于n-1和k-1的项，那么说明方向是对的。
- -
+
这是第一步。上式括号里的两项其实为标准的、低一次的贝塞尔函数：
- -
+
现在将上式应用于已有的加权贝塞尔函数。先写出之前所见的平面曲线公式，再逐步求出导数：
- -
+
如果打开上式的括号（用颜色表示相匹配的项），再按递增的k值重排各项，那么有：
- -
+
上式中有两项会消失掉：因为任意和式都没有第-1项，所以上式第一项消失。既然这一项总是贡献为零，那么求导时就可以放心地将其完全无视。消失的另外一项为展开式的最后一项——包含B“慢着，为什么这是对的？” >的一项。这一项含有二项式系数Cii+1，而这一系数通常约定等于0。因此这一项贡献为零，也可被略去。这意味着剩下的项为：
- -
+
此即低次函数之和：
- -
+
将上式改写为正常的和式即可：
- -
+
将上式改写为与原式相似的形式有助于看出它们的区别。先写出原式，再写出导数：
- -
-
- 
+
+
有什么区别？对于实际的贝塞尔曲线而言几乎没有区别！虽然次数降低了（从n次变为n-1次），但是贝塞尔函数没有改变。唯一的真正的区别在于推导表示曲线的函数时权重如何变化。如果有A、B、C、D四个点，那么导数有三个点，二阶导数有两个点，三阶导数有一个点：
- -
+
只要有多于一个权重即可运用这一方法。只剩一个权重时，下一步会出现k=0，而贝塞尔函数的和式因为无项可加而化为零。因此二次函数没有二阶导数，三次函数没有三阶导数，更一般地有n次函数有n-1阶（有意义的）导数，其更高阶导数为零。
@@ -2913,9 +2642,9 @@
-->
此即所需的方向向量。可以在每一点将方向向量规范化后得到单位方向向量（即长度为1.0），再根据这些方向进行所需的操作：
@@ -2938,32 +2667,17 @@
-->
切向量对于沿曲线移动很有用，但如果要从曲线附近“移向远处”，而且移动方向与曲线在某点t处垂直，那该怎么办？这时需要的是法向量。这一向量与曲线的方向保持垂直，且长度通常为1.0，因此只需旋转单位方向向量即可：
- -
+
其实旋转坐标只要知道方法就非常简单——“施加旋转矩阵
-->
@@ -2990,8 +2704,8 @@
-->
@@ -3125,19 +2839,51 @@
实现旋转最小化标架
首先假设已有函数用于计算上文提及的指定点的弗勒内标架，输出的标架具有如下性质：
- {
+
+
+
+ 1
+
+
+
+
+
+ 2
+
+
+ 3
+
+
+ 4
+
+
+ 5
+
+
+ 6
+
+
+
再如下写出生成一系列旋转最小化标架的函数：
- generateRMFrames(steps) -> frames:
+
+
+
+ 1
+
+
+
+
+
+ 2
+
+
+ 3
+
+
+ 4
+
+
+ 5
+
+
+ 6
+
+
+ 7
+
+
+ 8
+
+
+ 9
+
+
+ 10
+
+
+ 11
+
+
+ 12
+
+
+ 13
+
+
+ 14
+
+
+ 15
+
+
+ 16
+
+
+ 17
+
+
+ 18
+
+
+ 19
+
+
+ 20
+
+
+ 21
+
+
+ 22
+
+
+ 23
+
+
+ 24
+
+
+ 25
+
+
+ 26
+
+
+ 27
+
+
+ 28
+
+
+
即使忽略注释，代码也明显比计算单个弗勒内标架的多，但也没有多得离谱，而且得到了长得更好的法向量。
实现旋转最小化标架
首先假设已有函数用于计算上文提及的指定点的弗勒内标架，输出的标架具有如下性质：
-{
+
+
+
+ 1
+
+
+
+
+
+ 2
+
+
+ 3
+
+
+ 4
+
+
+ 5
+
+
+ 6
+
+
+
再如下写出生成一系列旋转最小化标架的函数：
- generateRMFrames(steps) -> frames:
+
+
+
+ 1
+
+
+
+
+
+ 2
+
+
+ 3
+
+
+ 4
+
+
+ 5
+
+
+ 6
+
+
+ 7
+
+
+ 8
+
+
+ 9
+
+
+ 10
+
+
+ 11
+
+
+ 12
+
+
+ 13
+
+
+ 14
+
+
+ 15
+
+
+ 16
+
+
+ 17
+
+
+ 18
+
+
+ 19
+
+
+ 20
+
+
+ 21
+
+
+ 22
+
+
+ 23
+
+
+ 24
+
+
+ 25
+
+
+ 26
+
+
+ 27
+
+
+ 28
+
+
+
即使忽略注释，代码也明显比计算单个弗勒内标架的多，但也没有多得离谱，而且得到了长得更好的法向量。