From c687e7d75ca4b1d0784dfd84027158d7090119f9 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Zegeri Date: Fri, 6 Apr 2018 02:03:27 +0200 Subject: [PATCH] Lema de Yoneda --- TFG.tex | 166 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++----- 1 file changed, 151 insertions(+), 15 deletions(-) diff --git a/TFG.tex b/TFG.tex index 38f543b..d90ca04 100644 --- a/TFG.tex +++ b/TFG.tex @@ -13,8 +13,7 @@ \usetikzlibrary{cd} %% FONTS: libertine+biolinum+stix -\usepackage[mono=false]{libertine} -\usepackage[notext]{stix} +\usepackage{mathpazo} % ===================== % = Datos importantes = @@ -118,6 +117,7 @@ \usepackage[]{mathtools} \usepackage[]{bm} \usepackage[]{thmtools} +\usepackage[]{amsfonts} \newcommand{\marcador}{\vrule height 10pt depth 2pt width 2pt \hskip .5em\relax} \newcommand{\cabeceraespecial}{% \color{USred}% @@ -187,6 +187,7 @@ \DeclareMathOperator{\cod}{cod} \DeclareMathOperator{\id}{id} \DeclareMathOperator{\Id}{Id} +\DeclareMathOperator{\Const}{Const} % ============================ % = Composición de la página = @@ -1172,10 +1173,10 @@ \section{Hom-Functores} Como estamos bajo la hipótesis que $\cat$ es localmente pequeña, entonces $C(A,B)$ es un conjunto para todo $A \in \cat$ y $B \in \cat$. Entonces, $C(A,B) \in \Set$. De este hecho, podemos crear el functor contravariante: -\[ C(-,X) \colon \cat \to \Set \] -que a cada objeto $A \in \cat$ le asocia el conjunto $C(A,X)$. -A cada morfismo $f \colon A \to B$ en $\cat$, $C(f,X)$ será un morfismo entre los conjuntos $C(B,X)$ y $C(A,X)$. -La forma natural de asociar estos conjuntos es por la composición $g \mapsto g \circ f$. +\[ C(A,-) \colon \cat \to \Set \] +que a cada objeto $X \in \cat$ le asocia el conjunto $C(A,X)$. +A cada morfismo $f \colon X \to Y$ en $\cat$, $C(A,f)$ será un morfismo entre los conjuntos $C(A,X)$ y $C(A,Y)$. +La forma natural de asociar estos conjuntos es por la composición $g \mapsto f \circ g$. A dicho functor le damos el nombre de \newterm{hom-functor}. Veamos que el hom-functor es realmente un functor. @@ -1230,20 +1231,155 @@ \subsection{Functores representables en Haskell} Las primera condición establece que \code{tabulate} sea una transformación natural. Las otras dos condiciones son equivalentes a dicha transformaión natural sea invertible con \code{index}. -\section{Embebimiento de Yoneda} -Siguiendo en una categoría localmente pequeña $\cat$, consideramos la siguiente transformación: +\section{Inmersión de Yoneda} +Primero definamos qué es un inmersión. + +Recordemos de la definición de functor, que un functor consistía en un par $F_O$ y $F_M$ que actúan sobre los objetos y morfismos respectivamente. +Dado un functor $F \colon \cat \to \mathcal{D}$ y dos objetos $A, B \in \cat$, denotamos por $F_M|_{\cat(A,B)}$ o, sencillamente, $F_{A,B}$ a la \textquote{restricción} de $F_M$ a la colección de morfismos $\cat(A,B)$. +Como $F_M$ respeta el dominio y codominio, tenemos que $F_{A,B}$ es una aplicación: +\[ F_{A,B} \colon \cat(A,B) \to \mathcal{D}(F A, F B) \] +Con esto en mente, definimos las siguientes clases de functores: + +\begin{definition} +Un functor $F \colon \cat \to \mathcal{D}$ es +\begin{itemize} + \item \index{functor!lleno}\emph{lleno} si para cada $A,B \in \cat$, $F_{A,B}$ es sobreyectiva. + \item \index{functor!fiel}\emph{fiel}, si para cada $A,B \in \cat$, $F_{A,B}$ es inyectiva. + \item \index{functor!{inyectivo en objetos}}\emph{inyectivo en objetos} si $F_O$ es inyectivo. +\end{itemize} +\end{definition} + +Obsérvese que no es lo mismo que $F$ sea lleno o fiel a que $F_M$ sea inyectiva y sobreyectiva. +Podríamos decir que la propiedad de ser lleno y fiel es una propiedad \textquote{local}. + +\begin{definition} +Un functor es una \newterm{inmersión} si es fiel e inyectivo en objetos. +Si además es lleno, decimos que es una \newterm{inmersión llena}. +\end{definition} + +\begin{definition} +Dada una categoría $\cat$, una \newterm{subcategoría} es un par $(\mathcal{D}, F)$ donda $\mathcal{D}$ es una categoría y $F \colon \mathcal{D} \to \cat$ es una inmersión. + +Si además, $F$ es llena, decimos que $(\mathcal{D}, F)$ es una \index{subcategoría!llena}\emph{subcategoría llena}. +\end{definition} + +\begin{lemma}[Lema de Yoneda] +Sea $\cat$ una categoría localmente pequeña, un functor $F \colon \cat \to \Set$ y un objeto $A \in \cat$. +Denotemos por $Nat(\cat(A,-), F)$ a la colección de transformaciones naturales de $\cat(A,-) \Rightarrow F$. +Hay una biyección: +\[ Nat(\cat(A,-), F) \cong F A \] +que es natural en $A$ y en $F$. +\end{lemma} +% Category theory in context + Awodey +Vamos a precisar: +\begin{itemize} + \item Hemos visto previamente que $\cat(A,-) \colon \cat \to \Set$ es un functor, luego puede haber una colección de transformaciones naturales de $\cat(A,-)$ al functor $F \colon \cat \to \Set$. + \item En la categoría de functores $\Set^{\cat}$, donde $\cat(A,-)$ y $F$ son objetos, $Nat(\cat(A,-),F)$ es precisamente la colección de morfismos $\Set^{\cat}(\cat(A,-),F)$. + \item La naturalidad en $F$ quiere decir que para toda transformación natural $\theta \colon F \Rightarrow G$, se tiene que el siguiente diagrama es conmutativo: +\[ +\begin{tikzcd} + {Nat(\cat(A,-),F)} \arrow[rr,"\cong"] \arrow[dd,"{Nat(\cat(A,-),\theta)}" left] & & F A \arrow[dd,"\theta_A"]\\ + &\\ + {Nat(\cat(A,-),G)} \arrow[rr,"\cong"] & & G A +\end{tikzcd} +\] + \item La naturalidad en $A$ quiere decir que para todo $f \colon A \to B$, se tiene que el siguiente diagrama conmuta: + \[ +\begin{tikzcd} + {Nat(\cat(A,-),F)} \arrow[rr,"\cong"] \arrow[dd,"{Nat(\cat(f,-),F)}" left] & & F A \arrow[dd,"F f"]\\ + &\\ + {Nat(\cat(B,-),F)} \arrow[rr,"\cong"] & & F B +\end{tikzcd} +\] +\end{itemize} +\begin{proof} +Primero miramos que para una transformación natural $\mu \in Nat(\cat(A,-),F)$, es decir, $\mu \colon \cat(A,-) \Rightarrow F$, su componente en $A \in \cat$ es una función entre conjuntos +\[ \mu_A \colon \cat(A,A) \to F A \] +Sabemos además que $\cat(A,A)$ es un conjunto no vacío, pues al menos contiene $\id_A$ + +Consideramos la función $\phi \colon Nat(\cat(A,-),F) \to F A$ definida por: \begin{align*} -k \colon \cat^{op} \to \Set -\end{align*} y un objeto $A$ en $\cat$, definimos la siguiente transformación natural a partir de un morfismo $h \colon A \to B$: -\[ C(h,-) \colon C(B,-) \Rightarrow C(A,-) \] -Donde la componente de $C(h,-)$ en $X \in \cat$ viene dado por: + \phi \colon Nat(\cat(A,-),F) & \to F A\\ + \alpha & \mapsto \alpha_A(\id_A) +\end{align*} + +Dado cualquier $x \in F A \in \Set$, definimos la transformación natural +\[ \psi(x) \colon \cat(A,-) \Rightarrow F \] +estableciendo su componente para $B \in \cat$ cualquiera: \begin{align*} -C(h,X) \colon & C(B,X) \to C(A,X)\\ -& f \mapsto f \circ h + \psi(x)_B \colon \cat(A,B) & \to F B\\ + \psi(x)_B (f) & \mapsto (F f)(x) \end{align*} -Como $C(B,X)$ y $C(A,X)$ son conjuntos, en particular $C(h,X)$ es un morfismo +Veamos que $\psi(x)$ cumple la naturalidad. Para un $f \colon B \to C$: +\begin{equation}\label{psi-diagrama} +\begin{tikzcd} + {\cat(A,B)} \arrow[rr,"\psi(x)_B"] \arrow[dd,"{\cat(A,f)}"] & & F B \arrow[dd,"F f"]\\ + &\\ + {\cat(A,C)} \arrow[rr,"\psi(x)_C"] & & F C +\end{tikzcd} +\end{equation} +Tenemos que para todo $h \colon A \to B$: +\begin{align*} +(\psi(x)_C \circ \cat(A,f)) (h) & = \psi(x)_C (f \circ h)\\ +& = (F (f \circ h))(x)\\ +& = (F f) \circ (F h)(x)\\ +& = (F f)(\psi(x)_B(h))\\ +& = (F f) \circ (\psi(x)_B)(h) +\end{align*} +Luego el diagrama \ref{psi-diagrama} conmuta. +\end{proof} +Veamos que $\phi$ y $\psi$ son inversas. Para $x \in F A$: +\begin{align*} + \phi(\psi(x)) & = \psi(x)_A(\id_A)\\ + & = (F (\id_A))(x)\\ + & = \id_{F A}(x) & \text{por definición de functor}\\ + & = x +\end{align*} +Para $\mu \colon \cat(A,-) \Rightarrow F$, $B \in \cat$ y $h \colon A \to B$: +\begin{align*} + \psi(\phi(\mu))_B(h) & = \psi(\mu_A(\id_A))_B(h)\\ + & = (F h)(\mu_A(\id_A))\\ + & = (\mu_B)(C(A,h)(\id_A)) & \text{por naturalidad de }\mu\\ + & = \mu_B(h\circ \id_A)\\ + & = \mu_B(h) +\end{align*} +Luego $\phi$ y $\psi$ son inversas y $Nat(\cat(A,-),F) \cong F A$. +Veamos la naturalidad en $F$ y en $A$: +\begin{equation}\label{diagrama-F} +\begin{tikzcd} + {Nat(\cat(A,-),F)} \arrow[rr,"\phi_F"] \arrow[dd,"{Nat(\cat(A,-),\theta)}" left] & & F A \arrow[dd,"\theta_A"]\\ + &\\ + {Nat(\cat(A,-),G)} \arrow[rr,"\phi_G"] & & G A +\end{tikzcd} +\end{equation} +Sea $B \in \cat$ y $\mu \colon \cat(A,-) \Rightarrow F$: +\begin{align*} + \theta_A(\phi_F(\mu)) & = \theta_A(\mu_A(\id_A))\\ + & = (\theta \circ \mu)_A(\id_A)\\ + & = \phi_G(\theta \circ \mu) +\end{align*} +que demuestra que el diagrama \ref{diagrama-F} conmuta. + +Sea $f \colon A \to B$ y $\mu \colon \cat(A,-) \Rightarrow F$: +\begin{equation}\label{diagrama-A} +\begin{tikzcd} + {Nat(\cat(A,-),F)} \arrow[rr,"\phi_A"] \arrow[dd,"{Nat(\cat(f,-),F)}" left] & & F A \arrow[dd,"F f"]\\ + &\\ + {Nat(\cat(B,-),F)} \arrow[rr,"\phi_B"] & & F B +\end{tikzcd} +\end{equation} +\begin{align*} + (F f)(\phi_A(\mu)) & = (F f)(\mu_A(\id_A))\\ + & = (\mu_B)(C(A,f)(\id_A)) & \text{por naturalidad de }\mu\\ + & = (\mu_B)(f \circ \id_A)\\ + & = (\mu_B)(\id_B \circ f)\\ + & = (\mu_B)(C(f,B)(\id_B))\\ + & = (\mu \circ C(f,-))_B(\id_B)\\ + & = (\phi_B)(\mu \circ C(f,-)) +\end{align*} +que deuestra que el diagrama \ref{diagrama-A} conmuta y acaba la demostración. \backmatter \bibliographystyle{acm}