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abr-ajout-racine.rkt
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abr-ajout-racine.rkt
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;; Énoncé
;; [abr-ajout-racine] Ajout d'une étiquette à la racine d'un arbre
;; binaire de recherche numérique
;; Le but de cet exercice est d'ajouter une étiquette x à la racine
;; d'un arbre binaire de recherche ABR suivant la méthode décrite
;; ci-dessous. Le travail à réaliser n'est pas trivial car il faut
;; garantir que l'arbre obtenu soit bien un arbre binaire de
;; recherche, ce qui est moins simple à faire que lors d'un ajout de x
;; en tant que feuille.
;; Nous allons voir dans cet exercice comment procéder. Pour cela,
;; nous allons décomposer le travail en deux étapes. Dans un premier
;; temps, nous allons « séparer » les étiquettes de ABR qui sont plus
;; petites que x des étiquettes qui sont plus grandes que x. C'est le
;; rôle de la première fonction abr-coupure. Ensuite, la fonction
;; abr-ajout-racine construira le résultat final attendu.
;; Donner la spécification et une définition de la fonction
;; abr-coupure qui, étant donnés un nombre x et un arbre binaire de
;; recherche numérique ABR, rend le couple d'arbres binaires de
;; recherche numériques tel que : 1) le premier arbre du couple est
;; composé des étiquettes de ABR strictement inférieures à x, 2) le
;; second arbre du couple est composé des étiquettes de ABR
;; strictement supérieures à x. Ce couple constitue la coupure de
;; l'arbre binaire de recherche numérique ABR selon le nombre x. Par
;; exemple:
;; (abr-coupure 12 (ab-noeud 12
;; (ab-noeud 5
;; (ab-vide)
;; (ab-noeud 8 (ab-vide) (ab-vide)))
;; (ab-noeud 15
;; (ab-vide)
;; (ab-noeud 20 (ab-vide) (ab-vide) ) ) ) )
;; rend la liste valeur de
;; (list (ab-noeud 5
;; (ab-vide)
;; (ab-noeud 8 (ab-vide) (ab-vide) ) )
;; (ab-noeud 15
;; (ab-vide)
;; (ab-noeud 20 (ab-vide) (ab-vide) ) ) )
;; et
;; (abr-coupure 7 (ab-noeud 12
;; (ab-noeud 5
;; (ab-vide)
;; (ab-noeud 8 (ab-vide) (ab-vide) ) )
;; (ab-noeud 15
;; (ab-vide)
;; (ab-noeud 20 (ab-vide) (ab-vide) ) ) ) )
;; rend la liste valeur de
;; (list (ab-noeud 5
;; (ab-vide)
;; (ab-vide))
;; (ab-noeud 12
;; (ab-noeud 8 (ab-vide) (ab-vide) )
;; (ab-noeud 15
;; (ab-vide)
;; (ab-noeud 20 (ab-vide) (ab-vide) ) ) ) )
;; Donner la spécification et une définition de la fonction
;; abr-ajout-racine qui étant donnés un nombre x et un arbre binaire
;; de recherche numérique ABR rend l'arbre binaire de recherche ABR
;; dans lequel x a été ajouté à la racine. Par exemple:
;; (abr-ajout-racine 7
;; (ab-noeud 12
;; (ab-noeud 5
;; (ab-vide)
;; (ab-noeud 8 (ab-vide) (ab-vide) ) )
;; (ab-noeud 15
;; (ab-vide)
;; (ab-noeud 20 (ab-vide) (ab-vide) ) ) ) )
;; rend
;; (ab-noeud 7
;; (ab-noeud 5 (ab-vide) (ab-vide) )
;; (ab-noeud 12
;; (ab-noeud 8 (ab-vide) (ab-vide) )
;; (ab-noeud 15
;; (ab-vide)
;; (ab-noeud 20 (ab-vide) (ab-vide) ) ) ) ) )
(load "arbre-binaire.rkt")
(define (abr-coupure x A)
(define (rec<x ab)
(cond
((and (ab-noeud? ab)
(< (ab-etiquette ab) x))
(ab-noeud (ab-etiquette ab)
(rec<x (ab-gauche ab))
(rec<x (ab-droit ab))))
((and (ab-noeud? ab)
(>= (ab-etiquette ab) x))
(let ((arbre-gauche (rec<x (ab-gauche ab))))
(if (ab-vide? arbre-gauche)
(ab-vide)
(ab-noeud (ab-etiquette arbre-gauche)
(ab-gauche arbre-gauche)
(ab-droit arbre-gauche)))))
(else (ab-vide))))
(define (rec>x ab)
(cond ((and (ab-noeud? ab)
(> (ab-etiquette ab) x))
(ab-noeud (ab-etiquette ab)
(rec>x (ab-gauche ab))
(rec>x (ab-droit ab))))
((and (ab-noeud? ab)
(<= (ab-etiquette ab) x))
(let ((arbre-droit (rec>x (ab-droit ab))))
(if (ab-vide? arbre-droit)
(ab-vide)
(ab-noeud (ab-etiquette arbre-droit)
(ab-gauche arbre-droit)
(ab-droit arbre-droit)))))
(else (ab-vide))))
(list (rec<x A) (rec>x A)))
(verifier abr-coupure
(equal?
(abr-coupure 12 (ab-noeud 12
(ab-noeud 5
(ab-vide)
(ab-noeud 8 (ab-vide) (ab-vide)))
(ab-noeud 15
(ab-vide)
(ab-noeud 20 (ab-vide) (ab-vide) ) ) ) )
(list (ab-noeud 5
(ab-vide)
(ab-noeud 8 (ab-vide) (ab-vide) ) )
(ab-noeud 15
(ab-vide)
(ab-noeud 20 (ab-vide) (ab-vide) ) ) )
) => #t
(equal?
(abr-coupure 7 (ab-noeud 12
(ab-noeud 5
(ab-vide)
(ab-noeud 8 (ab-vide) (ab-vide) ) )
(ab-noeud 15
(ab-vide)
(ab-noeud 20 (ab-vide) (ab-vide) ) ) ) )
(list (ab-noeud 5
(ab-vide)
(ab-vide))
(ab-noeud 12
(ab-noeud 8 (ab-vide) (ab-vide) )
(ab-noeud 15
(ab-vide)
(ab-noeud 20 (ab-vide) (ab-vide) ) ) ) )
) => #t
)
(define (abr-ajout-racine x A)
(let* ((a (abr-coupure x A)))
(ab-noeud x
(car a)
(cadr a))))
(verifier abr-ajout-racine
(equal?
(abr-ajout-racine 7 (ab-vide))
(ab-noeud 7 (ab-vide) (ab-vide)))
(equal?
(abr-ajout-racine 7
(ab-noeud 12
(ab-noeud 5
(ab-vide)
(ab-noeud 8 (ab-vide) (ab-vide) ) )
(ab-noeud 15
(ab-vide)
(ab-noeud 20 (ab-vide) (ab-vide) ) ) ) )
(ab-noeud 7
(ab-noeud 5 (ab-vide) (ab-vide) )
(ab-noeud 12
(ab-noeud 8 (ab-vide) (ab-vide) )
(ab-noeud 15
(ab-vide)
(ab-noeud 20 (ab-vide) (ab-vide) ) ) ) )
) => #t
)