lec03.tex

\subsection{\texorpdfstring{Исчисление по Карри}{Curry-style}}

\begin{definition}[тип]
    $T = \{\alpha, \beta, \gamma \ldots\}$ "--- множество типов.
    $\sigma$, $\tau$ "--- метапеременные для типов.
    Если $\sigma$, $\tau$ "--- типы, то $\sigma \to \tau$ "--- тип.
    \begin{bnf}
    \[
        \Pi ::= T | \Pi \to \Pi | (\Pi)
    \]
    \end{bnf}
    $\left(\to\right)$ правоассоциативна.
\end{definition}

\begin{definition}[контекст] Контекст "--- $\Gamma$.
\begin{gather*}
    \Gamma = \{ \Lambda_{1} : \sigma_{1} \ldots \Lambda_{n} : \sigma_{n} \} \\
    \abs{\Gamma} = \{ \sigma_{1} \ldots \sigma_{n} \} \\
    \dom \Gamma = \{ \Lambda_{1} \ldots \Lambda_{n} \}
\end{gather*}
Если $i \neq j$, то $\Lambda_i \neq \Lambda_j$.
\end{definition}

\begin{definition}[типизируемость по Карри]
    Рассмотрим исчисление со следующими правилами:
    \begin{enumerate}
        \item $\infer[(x \notin \dom(\Gamma))]
            {\Gamma, x:\sigma \vdash x:\sigma}
            {}$
        \item $\infer[]
            {\Gamma \vdash M N : \tau}
            {\Gamma \vdash M:\sigma \to \tau && \Gamma \vdash N:\sigma}$
        \item $\infer[(x \notin \dom(\Gamma))]
            {\Gamma \vdash \lambda x . M : \sigma \to \tau}
            {\Gamma, x : \sigma \vdash M : \tau}$
    \end{enumerate}
    Если $\lambda$-выражение типизируется этими трёмя правилами, то говорят, что оно типизируется по Карри.
\end{definition}

\begin{lemma}[subject reduction]
    Если $\Gamma \vdash M : \sigma$ и $M \to_{\beta}N$, то $\Gamma \vdash N : \sigma$.
\end{lemma}

\begin{corollary}
    Если $\Gamma \vdash M : \sigma$ и $M \twoheadrightarrow_{\beta}N$, то $\Gamma \vdash N : \sigma$.
\end{corollary}

\begin{theorem}[Чёрча-Россера]
    Если $\Gamma \vdash M : \sigma$, $M \twoheadrightarrow_{\beta} N$ и $M \twoheadrightarrow_{\beta} P$, то найдётся такое $Q$, что
    $N \twoheadrightarrow_{\beta} Q$, $P \twoheadrightarrow_{\beta} Q$ и $\Gamma \vdash Q : \sigma$.
\end{theorem}

\begin{example} Несколько доказательств:
    \begin{enumerate}
        \item $\lambda x . x : \alpha \to \alpha$:
        \[
            \infer[(3)]
                {\vdash \lambda x . x : \alpha \to \alpha}
                { \infer[(1)]
                    {x : \alpha \vdash x : \alpha}
                    {}
                }
        \]

        \item $\lambda f . \lambda x . f x : (\alpha \to \beta) \to \alpha \to \beta$:
        \[
            \infer[(3)]
                { \vdash \lambda f . \lambda x . f x : (\alpha \to \beta) \to (\alpha \to \beta) }
                { \infer[(3)]
                    { f : \alpha \to \beta \vdash \lambda x . f x : \alpha \to \beta }
                    { \infer[(2)]
                        {f : \alpha \to \beta; x : \alpha \vdash f x : \beta}
                        {
                            \infer[(1)]{ \Gamma \vdash f : \alpha \to \beta }{} &&
                            \infer[(1)]{ \Gamma \vdash x : \alpha }{}
                        }
                    }
                }
        \]

        \item \begin{proof}[$\combl \Omega$ и $\comb Y$ не типизируемы] Допустим обратное.
        Тогда в выводе должен будет присутствовать вывод подвыражения $xx$:
        \[
            \infer{\Gamma, x : \sigma \to \tau, x : \sigma \vdash x x : \tau}
            {  \infer{\Gamma, x : \sigma \to \tau, x : \sigma \vdash x : \sigma \to \tau}{}
            && \infer{\Gamma, x : \sigma \to \tau, x : \sigma \vdash x : \sigma}{}
            }
        \]
        Однако первое правило вывода запрещает повторение переменных в контексте. Значит, такой вывод не может быть корректным.
        \end{proof}

    \end{enumerate}
\end{example}

Если мы знаем тип выражения, то построить вывод этого типа нам не составит труда.
По виду $\lambda$-терма можно однозначно сказать, каким правилом был выведен его тип.
Правилом 1 выводится тип обособленных переменных, правилом 2 выводится тип аппликаций, правилом 3 "--- абстракций.

\begin{lemma}[отсутствие subject expansion]
    Неверно, что если $M \to_{\beta} N$, $\Gamma \vdash N : \sigma$, то $\Gamma \vdash M : \sigma$.
\end{lemma}
Например, для $\comb K a \combl\Omega$.

В общем случае тип не уникален. Например, одновременно $\vdash \lambda x . x : \alpha \to \alpha$ и $\vdash \lambda x . x : (\beta \to \beta) \to (\beta \to \beta)$.

\begin{definition}[сильная нормализация] \label{strong-normalization}
    Назовём исчисление сильно нормализуемым, если любая последовательность $\beta$-редукций неизбежно приводит к нормальной форме.
\end{definition}
Или, иными словами, если не существует бесконечной последовательности $\beta$-редукций.

\begin{definition}[слабая нормализация]
    Назовём исчисление слабо нормализуемым, если для любого терма существует последовательность $\beta$-редукций, приводящая его к нормальной форме.
\end{definition}

\begin{theorem}[о сильной нормализации]
    Просто типизируемое $\lambda$-исчисление сильно нормализуемо.
    Любое просто типизируемое $\lambda$-выражение сильно нормализуемо.
\end{theorem}

\subsection{\texorpdfstring{Исчисление по Чёрчу}{Church-style}}

\begin{definition}[типизация по Чёрчу] Расширим грамматику:
    \begin{bnf}
    \[
        \Lambda_{\xx} ::= x | \lambda x^{\sigma}.\Lambda_{\xx} | (\Lambda_{\xx}) | \Lambda_{\xx} \Lambda_{\xx}
    \]
    \end{bnf}%
    Правила вывода:
    \begin{enumerate}
        \item $\infer[(x \notin \dom(\Gamma))]
            {\Gamma, x:\sigma \vdash_{\xx} x:\sigma}
            {}$
        \item $\infer[]
            {\Gamma \vdash_{\xx} M N : \tau}
            {\Gamma \vdash_{\xx} M:\sigma \to \tau && \Gamma \vdash_{\xx} N:\sigma}$
        \item $\infer[(x \notin \dom(\Gamma))]
            {\Gamma \vdash_{\xx} \lambda x^{\sigma} . M : \sigma \to \tau}
            {\Gamma, x : \sigma \vdash_{\xx} M : \tau}$
    \end{enumerate}

\end{definition}

\begin{definition}[стирание] Функцией стирания называется следующая функция из $\Lambda_\xx$ в $\Lambda$:
\[
    \abs{\Lambda_{\xx}} =
    \begin{cases}
        x                                   & \Lambda_{\xx} \equiv x \\
        \abs{\Lambda_{1}} \abs{\Lambda_{2}} & \Lambda_{\xx} \equiv \Lambda_{1} \Lambda_{2} \\
        \lambda x . \abs{\Lambda}           & \Lambda_{\xx} \equiv \lambda x^{\sigma} . \Lambda
    \end{cases}
\]
\end{definition}

\begin{lemma}[subject reduction по Чёрчу]
    Пусть $\Gamma \vdash_{\xx} M : \sigma$ и $\abs{M} \to_{\beta} N$.
    Тогда найдётся такое $H$, что $\abs{H} = N$, $\Gamma \vdash_{\xx} H:\sigma$.
\end{lemma}

\begin{theorem}[Чёрча-Россера]
    Пусть $\Gamma \vdash_{\xx} M : \sigma$, $\abs{M} \twoheadrightarrow_{\beta} N$, $\abs{M} \twoheadrightarrow_{\beta} T$.
    Тогда найдётся такое $P$, что $\Gamma \vdash_{\xx} P : \sigma$,
            $N \twoheadrightarrow_{\beta} \abs{P}$ и $T \twoheadrightarrow_{\beta} \abs{P}$.
\end{theorem}

Единственное отличие исчисления по Чёрчу от исчисления по Карри "--- это типизация всех абстракций.
Из этого вытекает следующая лемма:

\begin{lemma}[уникальность типов] \label{uniqueness}
    Если $\Gamma \vdash_\xx M : \sigma$ и $\Gamma \vdash_\xx M : \tau$, то $\sigma = \tau$.
\end{lemma}

\begin{theorem}[о стирании] \ 
    \begin{enumerate}
        \item Если $M \to_{\beta} N$ и $\Gamma \vdash_{\xx} M : \sigma$, то $\abs{M} \to_{\beta} \abs{N}$.
        \item Если $\Gamma \vdash_{\xx} M : \sigma$, то $\Gamma \vdash_{к} \abs{M} : \sigma$.
    \end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{theorem}[о поднятии]
    Пусть $P \in \Lambda_{\xx}$, $M, N \in \Lambda_{\rr}$.
    \begin{enumerate}
        \item Если $M \to_{\beta} N$, $\abs{P} = M$, то найдётся такое $Q$, что $\abs{Q} = N$, $P \to_{\beta} Q$.
        \item Если $\Gamma \vdash_{\rr} M : \sigma$, то найдётся такое $P \in \Lambda_{\xx}$, что
                $\Gamma \vdash_{\xx} P : \sigma$, $\abs{P} = M$.
    \end{enumerate}
\end{theorem}

\subsection{\texorpdfstring{Изоморфизм Карри-Ховарда}{Curry-Howard correspondence}}

Можно отчётливо проследить связь между аксиомами типизированного $\lambda$-исчисления и аксиомами импликационного фрагмента ИИВ.
Сейчас мы введём два новых типа данных, правила для которых будут соответствовать связкам $\with$ и $\lor$ из ИИВ.

Первый "--- тип "<пары">. Пара хранит в себе два значения. Пусть $A : \sigma$ и $B : \tau$, тогда:
\begin{gather*}
    \pair{A,B} : \sigma \with \tau \\
    \pi_1 : \sigma\with\tau\to\sigma \qquad \pi_2 : \sigma\with\tau\to\tau
\end{gather*}
$\pi_1$ и $\pi_2$ это функции для доступа к элементам пары, левая и правая проекции.
Например, $\pi_2 \pair{\overline 7,\overline 5} =_\beta \overline 5$.

Второй "--- алгебраический тип данных. Пусть $T : \sigma\vee\tau$, $L : \sigma\to\pi$, $R : \tau\to\pi$. Тогда:
\[
    \case{T}{L}{R} : \pi \qquad \inj_1 : \sigma\to\sigma\vee\tau \qquad \inj_2 : \tau\to\sigma\vee\tau
\]
Если $A : \sigma$ и $B : \tau$, то $\inj_1 A$ и $\inj_2 B$ имеют тип $\sigma\vee\tau$.
$\inj_1$ и $\inj_2$ "--- это левая и правая инъекции.
Тип $\sigma \vee \tau$ означает, что это либо $\sigma$, либо $\tau$.
Его можно понимать как \mintinline{C++}{union}, который дополнительно хранит в себе информацию о типе, который в нём записан.

Рассмотрим алгебраический тип данных на Haskell: \mintinline{Haskell}{data Fruit = Orange Int | Banana Int}. Левая инъекция для него "---
\mintinline{Haskell}{Orange :: Int -> Fruit}, правая "--- \mintinline{Haskell}{Banana :: Int -> Fruit}.
На нашем языке можно сказать, что $\mathinner\mathtt{Fruit} = \mathinner{\mathtt{Int}} \vee \mathinner{\mathtt{Int}}$.
Тогда если $T \mathinner{:} \mathtt{Fruit}$, то $\case{T}{(+1)}{(-1)} \mathinner{:} \mathrel{\mathtt{Int}}$ это число,
хранящееся в фрукте, увеличенное на единицу, если это апельсин, и уменьшенное на единицу, если это банан.

Соответствие описано в таблицах \ref{correspondence-table} и \ref{correspondence-terms-table}.
Формально изоморфизм описывается следующей теоремой:

\begin{table}[hp]
\centering
\begin{tabular}{Sc@{\hspace{1.5cm}} Sc} \toprule
    ИИВ & Типизированное $\lambda$-исчисление \\ \midrule

    $\infer{\Gamma \vdash \psi}{\Gamma \vdash \varphi \to \psi && \Gamma \vdash \varphi}$ &
    $\infer{\Gamma \vdash AB : \psi}{\Gamma \vdash A : \varphi \to \psi && \Gamma \vdash B : \varphi}$ \\ \addlinespace

    $\infer{\Gamma \vdash \varphi \to \psi}{\Gamma, \varphi \vdash \psi}$ &
    $\infer{\Gamma \vdash \lambda x^\varphi . A : \varphi \to \psi}{\Gamma, x : \varphi \vdash A : \psi}$ \\ \midrule

    $\infer{\Gamma \vdash \varphi \with \psi}{\Gamma \vdash \varphi && \Gamma \vdash \psi}$ &
    $\infer{\Gamma \vdash \left<A,B\right> : \varphi \with \psi}{\Gamma \vdash A : \varphi && \Gamma \vdash B : \psi}$ \\ \addlinespace

    $\infer{\Gamma \vdash \varphi}{\Gamma \vdash \varphi \with \psi}$ &
    $\infer{\Gamma \vdash \pi_1 R : \varphi}{\Gamma \vdash R : \varphi \with \psi}$ \\ \addlinespace

    $\infer{\Gamma \vdash \psi}{\Gamma \vdash \varphi \with \psi}$ &
    $\infer{\Gamma \vdash \pi_2 R : \psi}{\Gamma \vdash R : \varphi \with \psi}$ \\ \midrule

    $\infer{\Gamma \vdash \varphi \vee \psi}{\Gamma \vdash \varphi}$ &
    $\infer{\Gamma \vdash \inj_1 A : \varphi \vee \psi}{\Gamma \vdash A : \varphi}$ \\ \addlinespace

    $\infer{\Gamma \vdash \varphi \vee \psi}{\Gamma \vdash \psi}$ &
    $\infer{\Gamma \vdash \inj_2 A : \varphi \vee \psi}{\Gamma \vdash A : \psi}$ \\ \addlinespace

    $\infer{\Gamma \vdash \varphi \vee \psi \to \pi}
        {\Gamma \vdash \varphi \to \pi && \Gamma \vdash \psi \to \pi}$ &
    $\infer{\Gamma \vdash \case{T}{A}{B} : \pi}{\Gamma \vdash T : \varphi \vee \psi &&
        \Gamma \vdash A : \varphi \to \pi && \Gamma \vdash B : \psi \to \pi}$ \\ \bottomrule
\end{tabular}
\caption{Соответствие правил вывода.}
\label{correspondence-table}
\end{table}

\begin{table}[hp]
\centering
\begin{tabular}{Sl Sl} \toprule
    Интуиционистская логика & $\lambda$-исчисление \\ \midrule
    Выражение & Тип \\
    Доказательство & Терм (программа) \\
    Предположение & Свободная переменная \\
    Импликация & Абстракция (функция) \\ \bottomrule
\end{tabular}
\caption{Соответствие сущностей.}
\label{correspondence-terms-table}
\end{table}

\begin{theorem}[об изоморфизме Карри-Ховарда] \ 
    \begin{enumerate}
        \item Пусть $\Delta \vdash_{\xx} M : \sigma$, тогда $\abs{\Delta} \vdash \sigma$.
        \item Пусть $\Gamma \vdash \sigma$ в и.ф.и.и.в., тогда найдётся такой терм M,
            что $\Delta \vdash_{\xx} M : \sigma$, где $\Delta=\left\{ \left(x : \varphi \right) \mid \varphi \in \Gamma \right\}$.
    \end{enumerate}
\end{theorem}

%% долг с предыдущей лекции
\begin{proof}~
\begin{enumerate}
    \item Индукция по выводу $\Delta \vdash_\xx M : \sigma$. Заменяем каждое правило в выводе соответствующим правилом из ИИВ и получаем доказательство $\abs\Delta \vdash \sigma$.

    \item Индукция по структуре вывода $\Gamma \vdash \sigma$. Пусть $\Gamma = \{\sigma_{1}, \sigma_{2} \ldots\}$,
        $\Delta = \{x_{1}:\sigma_{1}, x_{2}:\sigma_{2} \ldots \}$.
    \begin{enumerate}[label=(\asbuk*)]
        \item Вывод имеет вид:
        \[
            \infer{\Gamma, \varphi \vdash \varphi}{}
        \]
        \begin{enumerate}[label=\roman*.]
            \item Если $\varphi \in \Gamma$, то $\infer{\Delta \vdash x : \varphi}{}$.
            \item Если $\varphi \notin \Gamma$, то $\infer{\Delta, x : \varphi \vdash x : \varphi}{}$.
        \end{enumerate}

        \item Вывод заканчивается правилом:
        \[
            \infer{\Gamma \vdash \psi}{\Gamma \vdash \varphi \to \psi && \Gamma \vdash \varphi}
        \]
        По индукционному предположению $\Delta \vdash M : \varphi \to \psi$ и $\Delta \vdash N : \varphi$. Тогда:
        \[
            \infer{\Delta \vdash MN : \psi}{\Delta \vdash A : \varphi \to \psi && \Delta \vdash B : \varphi}
        \]

        \item Вывод заканчивается правилом:
        \[
            \infer{\Gamma \vdash \varphi \to \psi}{\Gamma,\varphi \vdash \psi}
        \]
        \begin{enumerate}[label=\roman*.]
            \item Пусть $\varphi \in \Gamma$. Тогда по индукционному предположению $\Delta \vdash M : \psi$.
            Возьмём новую переменную $x \notin \dom(\Delta)$.
            Тогда можно изменить построенное доказательство и получить $\Delta, x : \varphi \vdash M : \psi$.

            \item Пусть $\varphi \notin \Gamma$. Тогда по индукционному предположению $\Delta, x : \varphi \vdash M : \psi$.
        \end{enumerate}
        Тогда:
        \[
            \infer{\Delta \vdash \lambda x^\varphi . M : \varphi \to \psi}{\Delta, x : \varphi \vdash M : \psi}
            \qedhere
        \]
    \end{enumerate}
\end{enumerate} %есть в Curry-Howard Isomorphism, стр 75
\end{proof}