CH03 k近邻法

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前言

章节目录

1. k近邻算法
2. k近邻模型
   1. 模型
   2. 距离度量
   3. k值选择
   4. 分类决策规则
3. k近邻法的实现: KDTree
   1. 构造KDTree
   2. 搜索KDTree

导读

kNN是一种基本分类与回归方法。

• kNN是机器学习中被分析的最透彻的算法之一。
• 多数表决规则等价于0-1损失函数下的经验风险最小化，支持多分类， 有别于前面的感知机算法
• kNN的k和KDTree的k含义不同，书上这部分有注释说明
• KDTree是一种存储k维空间数据的树结构，KDTree是平衡二叉树
• KNN应用的一个实践问题是如何建立高效的索引。建立空间索引的方法在点云数据处理中也有广泛的应用，KDTree和八叉树在3D点云数据组织中应用比较广
• 书中的KDTree搜索实现的时候针对了一种$k=1$的特殊的情况，实际是最近邻搜索
• KDTree的搜索问题分为k近邻查找和范围查找，一个是已知$k$，求点集范围，一个是已知范围，求里面有k个点。范围查找问题在维度高的时候复杂度非常高，不太推荐用KDTree做范围查找。
• K近邻问题在杭电ACM里面有收录，HUD4347
• 图像的特征点匹配，数据库查询，图像检索本质上都是同一个问题--相似性检索问题。Facebook开源了一个高效的相似性检索工具Faiss，用于有效的相似性搜索和稠密矢量聚类。
• 这一章有个经典的图，在很多文章和教材上都能看到，就是第一个图3.1。这个图画出了1NN算法在实例空间上的决策面形状。这种类型的图经常被称为在训练集上的的Voronoi图，也叫Thiessen Polygons。可以通过检索Delaunay三角剖分和Voronoi划分进一步了解。
• 在scipy.spatial.KDTree中有KDTree的实现，KDTree在创建马赛克照片的时候可以用到。

最近邻算法

$k=1$的情形，称为最近邻算法。书中后面的分析都是按照最近邻做例子，这样不用判断类别，可以略去一些细节。

k近邻模型

算法

输入: $T=(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_N,y_N)，x_i\in \mathcal{X}\text{sube}{\mathbf{R}}^{\mathbf{n}}\mathcal{,}{\mathcal{y}}_{\mathcal{i}}\in \mathcal{Y}\mathcal{=}{\mathcal{c}}_{\mathcal{1}}\mathcal{,}{\mathcal{c}}_{\mathcal{2}}\mathcal{,}\dots \mathcal{,}{\mathcal{c}}_{\mathcal{k}}$; 实例特征向量$x$

输出: 实例所属的$y$

步骤:

1. 根据指定的距离度量，在$T$中查找$x$的最近邻的$k$个点，覆盖这$k$个点的$x$的邻域定义为$N_k(x)$

2. 在$N_k(x)$中应用分类决策规则决定$x$的类别$y$ $$ y=\arg\max_{c_j}\sum_{x_i\in N_k(x)}I(y_i=c_j), i=1,2,\dots,N, j=1,2,\dots,K $$

这里提到了$k$近邻模型的三要素，如算法描述中黑体标注的部分， 注意这里的三要素和前面说的统计学习方法的三要素不是一个东西。后面讲到隐马尔可夫模型的时候也有三要素。

距离度量

特征空间中的两个实例点的距离是两个实例点相似程度的反映。

书中是如上描述的，这里要注意距离越近(数值越小)， 相似度越大。

这里用到了$L_p$距离, 可以参考Wikipedia上$L_p$ Space词条¹

1. $p=1$ 对应 曼哈顿距离
2. $p=2$ 对应 欧氏距离
3. 任意$p$ 对应 闵可夫斯基距离

$$L_p(x_i,x_j)={\left(\sum _{l=1}^n{|x_i^{(l)}-x_j^{(l)}|}^p\right)}^{\frac{1}{p}}$$

考虑二维的情况，上图给出了不同的$p$值情况下与原点距离为1的点的图形。

这个图有几点理解下:

1. 与原点的距离
2. 与原点距离为1的点
3. 前一点换个表达方式，图中的点向量($x_1$, $x_2$)的$p$范数都为1
4. 图中包含多条曲线，关于p=1并没有对称关系
5. 定义中$p\geqslant1$，这一组曲线中刚好是凸的

这里要补充一点：

范数是对向量或者矩阵的度量，是一个标量，这个里面两个点之间的$L_p$距离可以认为是两个点坐标差值的$p$范数。

参考下例题3.1的测试案例，这个实际上没有用到模型的相关内容。

$k$值选择

1. 关于$k$大小对预测结果的影响，书中给的参考文献是ESL，这本书还有个先导书叫ISL。
2. 通过交叉验证选取最优$k$，算是超参数
3. 二分类问题，$k$选择奇数有助于避免平票

分类决策规则

Majority Voting Rule

误分类率

$\frac{1}{k}\sum _{x_i\in N_k(x)}I(y_i\ne c_i)=1-\frac{1}{k}\sum _{x_i\in N_k(x)}I(y_i=c_i)$

如果分类损失函数是0-1损失，误分类率最低即经验风险最小。

关于经验风险，参考书上CH01第一章 (1.11)和(1.16)

实现

kNN在实现的时候，要考虑多维数据的存储，这里会用到树结构。

在Scipy Cookbook里面有个kd树具体的实现²可参考

构造KDTree

KDTree的构建是一个递归的过程

注意: KDTree左边的点比父节点小，右边的点比父节点大。

这里面有提到，KDTree搜索时效率未必是最优的，这个和样本分布有关系。随机分布样本KDTree搜索(这里应该是最近邻搜索)的平均计算复杂度是$O(\log N)$，空间维数$K$接近训练样本数$N$时，搜索效率急速下降，几乎$O(N)$

看维度，如果维度比较高，搜索效率很低。当然，在考虑维度的同时也要考虑样本的规模。

考虑个例子

[[1, 1],
 [2, 1],
 [3, 1],
 [4, 1],
 [5, 1],
 [6, 1],
 [100, 1]，
 [1000, 1]]

这个数据，如果找[100, 1]

搜索KDTree

这部分书中的例子是最近邻的搜索例子。

$k$近邻查找

KNN查找已知查询点$p$，树当前节点$o$，近邻数目$k$

可以用一个优先队列存储最优的$k$个点，每次比对回溯节点是否比当前最优点更优的时候，就只需用当前最优中距离$p$最远的节点来对比，而这个工作对于优先队列来说是$O(1)$的[^3]

范围查询

给定一个范围，问其中有多少点。比较常见的应用是GIS类应用，使用者附近多大半径内包含多少单车，多少酒店等。

实际上为了实现快速搜索， 在空间数据的存储结构上要有考虑。

例子

例3.1

分析$p$值对最近邻点的影响，这个有一点要注意关于闵可夫斯基距离的理解：

• 两点坐标差的$p$范数

具体看相关测试案例的实现

例3.2

KDTree创建

例3.3

KDTree搜索

Loading

graph TD
	subgraph 对应图3.5
	A[A]---B((B))
	A---C((C))
	B(B)---F((F))
	B---D((D))
	C(C)---G((G))
	C---E((E))
	end

这个例子说明了搜索的方法，理解一下书中的图3.5，对应的KDTree如上。

参考

2. ESL

4. [^3 ]: KD Tree: k近邻查询和范围查询

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Footnotes

1. Lp Space ↩

2. KDTree ↩