数的表示：进制及进制转换

[dushaoshuai]

8 和 16 是 2 的幂，比起 10 进制，8 进制和 16 进制更接近计算机数据的表示方式。

通常我们采用 10 进制计数。10 进制数 2157 可以表示为：

$$2 \times 1000 + 1 \times 100 + 5 \times 10 + 7 \times 1$$

也就是：

$$2 \times 10^3 + 1 \times 10^2 + 5 \times 10^1 + 7 \times 10^0$$

10 进制使用 10 的幂计数。同理，2 进制使用 2 的幂计数，比如，机器数 $1101_{2}$ 可以表示为：

$$1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1\times 2^0$$

这是 2 进制换算为 10 进制的方法，数 $1101_{2}$ 的真值是：

$$1 \times 8 + 1 \times 4 + 0 \times 2 + 1 \times 1 = 13$$

也就是 $1101_{2} = 13_{10}$.

N 进制使用 0 ~ N-1 的 N 个符号（大于 9 的数字依次用 A, B, C, D... 表示）表示数据，使用 N 的幂计数，数 $abcdef_{N}(a, b, c, d, e, f \leq N - 1)$ 可以表示为：

$$a \times N^5 + b \times N^4 + c \times N^3 + d \times N^2 + e \times N^1 + f \times N^0$$

这是 N 进制数换算为 10 进制的方法。

N 进制转换为 10 进制

数 $abcdef_{N}(a, b, c, d, e, f \leq N - 1)$ 换算为 10 进制是：

$$a \times N^5 + b \times N^4 + c \times N^3 + d \times N^2 + e \times N^1 + f \times N^0$$

10 进制转换为 N 进制

1. 除以目标进制 N，记录余数，这个余数就是 N 进制下的最低位。
2. 将商继续除以 𝑁，再记录余数，依次类推，直到商为 0。
3. 最终的余数，从最后一个得到的余数到第一个得到的余数，按照逆序排列，就得到该十进制数的 N 进制表示。

例如 $19765_{10}$ 换算为 16 进制的过程是：

1. 对 $19765_{10}$ 连续除以 2，记录余数，直到商为 0 为止：

$$\begin{array}{c|c} \text{商} & \text{余数} \\ \hline 19765 \div 16 = 1235 & \text{余数 } 5 \\ 1235 \div 16 = 77 & \text{余数 } 3 \\ 77 \div 16 = 4 & \text{余数 } 13 \\ 4 \div 16 = 0 & \text{余数 } 4 \\ \end{array}$$

2. 将余数从下往上排列，得到二进制表示：

$$19765_{10} = 4D35_{2}$$

2 进制和 8 进制相互转换

一个 8 进制数字对应 3 个二进制数字：

8 进制	2 进制
0	000
1	001
2	010
3	011
4	100
5	101
6	110
7	111

要将数 $355_{8}$ 转换为 2 进制，将每一个 8 进制数字转换为对应的 2 进制表示，按照顺序连接起来：

• 3 -> 011
• 5 -> 101
• 5 -> 101
• 755 -> 011101101

因此，$755_{8} = 11101101_{2}$。

要将 $1110101110_{2}$ 转换为 8 进制，从最低位开始，将 2 进制数字划分为 3 个一组，按照顺序连接起来：

• 1 -> 1
• 110 -> 6
• 101 -> 5
• 110 -> 6
• 1110101110 -> 1656

因此，$1110101110_{2} = 1656_{8}$。

2 进制和 16 进制相互转换

一个 16 进制数字对应 4 个二进制数字：

16 进制	2 进制
0	0000
1	0001
2	0010
3	0011
4	0100
5	0101
6	0110
7	0111
8	1000
9	1001
A	1010
B	1011
C	1100
D	1101
E	1110
F	1111

要将数 $3A5C_{16}$ 转换为 2 进制，将每一个 16 进制数字转换为对应的 2 进制表示，按照顺序连接起来：

• 3 -> 0011
• A -> 1010
• 5 -> 0101
• C -> 1100
• 3A5C -> 11101001011100

因此，$3A5C_{16} = 11101001011100_{2}$。

要将 $1110101110_{2}$ 转换为 16 进制，从最低位开始，将 2 进制数字划分为 4 个一组，按照顺序连接起来：

• 11 -> 3
• 1010 -> A
• 1110 -> E
• 1110101110 -> 3AE

因此，$1110101110_{2} = 3AE_{16}$。