Skip to content

Latest commit

 

History

History
78 lines (66 loc) · 3.29 KB

PREBERIME.md

File metadata and controls

78 lines (66 loc) · 3.29 KB
Raw

Afina/Trikotniška transformacija

For English version of this file see README.md.

Teorija

Afina transformacija deluje samo nad kartezičnimi koordinatami (GK x,y ⇔ TM x,y). Zanjo potrebujete minimalno 3 kontrolne točke (na primer trikotnik), vsak s 4 koordinatami (Xs, Ys, Xt, Yt), kjer sta Xs,Ys koordinati v izvornem sistemu in Xt,Yt koordinati v ciljnem sistemu.

Za vsako novo točko Xi,Yi se transformacija izračuna po naslednji enačbi:

Xo = a⁎Xi + b⁎Yi + c
Yo = d⁎Xi + e⁎Yi + f

kjer imajo parametri a..f naslednji pomen:

a: Skaliranje X
e: Skaliranje Y
d: Rotacija X
b: Rotacija Y
c: Translacija X
f: Translacija Y

Za izračun parametrov a..f za dani trikotnik je potrebno rešiti sistem linearnih enačb s 6 neznankami, ki ga lahko predstavimo z naslednjimi matrikami:

| Xs1 Ys1 1 0 0 0 | | a |   | Xt1 |
| Xs2 Ys2 1 0 0 0 | | b |   | Xt2 | 
| Xs3 Ys3 1 0 0 0 | | c | = | Xt3 | 
| 0 0 0 Xs1 Ys1 1 | | d |   | Yt1 | 
| 0 0 0 Xs2 Ys2 1 | | e |   | Yt2 | 
| 0 0 0 Xs3 Ys3 1 | | f |   | Yt3 |

Ta sistem lahko rešimo z eliminacijsko metodo (operacije nad vrsticami ⇒ identična matrika) ali z drugimi metodami (Jacobi, Gauss-Seidel, ...).

Predizračun

Za Slovenijo imamo 899 referenčnih virtualih veznih točk (v3.0) v obeh koordinatnih systemih (GK in TM), ki formirajo 1776 trikotnikov:

Za vsak trikotnik lahko vnaprej izračunamo parametre a..f in njihove vrednosti shranimo v tabeli, ki jo lahko direktno uporabimo v programu.

Za izračun trikotnikov iz začetnega spiska referenčnih točk uporabimo obstoječi program triangle od Jonathana Shewchuka (UCB), ki generira natančne Delaunayeve triangulacije.

Natančen opis procesa

  • pridobi referenčne virtualne vezne točke (že priložene):
    ⇒ datoteka virtualne_vezne_tocke_v3.0.txt
  • ekstraktaj GK in TM koordinate iz referenčne datoteke
  • uporabi program triangle za kreiranje trikotnikov
  • uporabi priložen program ctt za kreiranje tabel, ki se bodo vključile v program:
    ⇒ datoteki aft_gktm.h and aft_tmgk.h
    ctt rešuje zgoraj omenjen sistem linearnih enačb za vsak trikotnik.

Vse to se lahko avtomatizira z uporabo priloženih skript cvvt.sh (za Unix) ali cvvt.bat (za Windows).

Uporaba v programu

Za vsako kartezično koordinato se je potrebno z zanko sprehoditi po tabeli 1776 vnaprej izračunanih trikotnikov in preveriti, ali koordinata leži znotraj trikotnika. Ta test mora biti zelo natančen, drugače lahko končamo s točko, ki leži nekje "med" trikotniki (glej geo_api.md).

Ko/če je takšen trikotnik najden, lahko uporabimo preprosto transformacijo s parametri a..f (glej Teorija zgoraj).