chapter18.ipynb

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    "# 第十八讲：行列式及其性质\n",
    "\n",
    "本讲我们讨论出行列式（determinant）的性质：\n",
    "\n",
    "1. $\\det{I}=1$，单位矩阵行列式值为一。\n",
    "2. 交换行行列式变号。\n",
    "\n",
    "    在给出第三个性质之前，先由前两个性质可知，对置换矩阵有$\\det P=\\begin{cases}1\\quad &even\\\\-1\\quad &odd\\end{cases}$。\n",
    "\n",
    "    举例：$\\begin{vmatrix}1&0\\\\0&1\\end{vmatrix}=1,\\quad\\begin{vmatrix}0&1\\\\1&0\\end{vmatrix}=-1$，于是我们猜想，对于二阶方阵，行列式的计算公式为$\\begin{vmatrix}a&b\\\\c&d\\end{vmatrix}=ad-bc$。\n",
    "\n",
    "3. a. $\\begin{vmatrix}ta&tb\\\\tc&td\\end{vmatrix}=t\\begin{vmatrix}a&b\\\\c&d\\end{vmatrix}$。\n",
    "\n",
    "    b. $\\begin{vmatrix}a+a'&b+b'\\\\c&d\\end{vmatrix}=\\begin{vmatrix}a&b\\\\c&d\\end{vmatrix}+\\begin{vmatrix}a'&b'\\\\c&d\\end{vmatrix}$。\n",
    "    \n",
    "    **注意**：~~这里并不是指$\\det (A+B)=\\det A+\\det B$，方阵相加会使每一行相加，这里仅是针对某一行的线性变换。~~\n",
    "\n",
    "4. 如果两行相等，则行列式为零。使用性质2交换两行易证。\n",
    "5. 从第$k$行中减去第$i$行的$l$倍，行列式不变。这条性质是针对消元的，我们可以先消元，将方阵变为上三角形式后再计算行列式。\n",
    "\n",
    "    举例：$\\begin{vmatrix}a&b\\\\c-la&d-lb\\end{vmatrix}\\stackrel{3.b}{=}\\begin{vmatrix}a&b\\\\c&d\\end{vmatrix}+\\begin{vmatrix}a&b\\\\-la&-lb\\end{vmatrix}\\stackrel{3.a}{=}\\begin{vmatrix}a&b\\\\c&d\\end{vmatrix}-l\\begin{vmatrix}a&b\\\\a&b\\end{vmatrix}\\stackrel{4}{=}\\begin{vmatrix}a&b\\\\c&d\\end{vmatrix}$\n",
    "\n",
    "6. 如果方阵的某一行为零，则其行列式值为零。使用性质3.a对为零行乘以不为零系数$l$，使$l\\det A=\\det A$即可证明；或使用性质5将某行加到为零行，使存在两行相等后使用性质4即可证明。\n",
    "\n",
    "7. 有上三角行列式$U=\\begin{vmatrix}d_{1}&*&\\cdots&*\\\\0&d_{2}&\\cdots&*\\\\\\vdots&\\vdots&\\ddots&\\vdots\\\\0&0&\\cdots&d_{n}\\end{vmatrix}$，则$\\det U=d_1d_2\\cdots d_n$。使用性质5，从最后一行开始，将对角元素上方的$*$元素依次变为零，可以得到型为$D=\\begin{vmatrix}d_{1}&0&\\cdots&0\\\\0&d_{2}&\\cdots&0\\\\\\vdots&\\vdots&\\ddots&\\vdots\\\\0&0&\\cdots&d_{n}\\end{vmatrix}$的对角行列式，再使用性质3将对角元素提出得到$d_nd_{n-1}\\cdots d_1\\begin{vmatrix}1&0&\\cdots&0\\\\0&1&\\cdots&0\\\\\\vdots&\\vdots&\\ddots&\\vdots\\\\0&0&\\cdots&1\\end{vmatrix}$，得证。\n",
    "\n",
    "8. 当矩阵$A$为奇异矩阵时，$\\det A=0$；当且仅当$A$可逆时，有$\\det A\\neq0$。如果矩阵可逆，则化简为上三角形式后各行都含有主元，行列式即为主元乘积；如果矩阵奇异，则化简为上三角形式时会出现全零行，行列式为零。\n",
    "\n",
    "    再回顾二阶情况：$\\begin{vmatrix}a&b\\\\c&d\\end{vmatrix}\\xrightarrow{消元}\\begin{vmatrix}a&b\\\\0&d-\\frac{c}{a}b\\end{vmatrix}=ad-bc$，前面的猜想得到证实。\n",
    "\n",
    "9. $\\det AB=(\\det A)(\\det B)$。使用这一性质，$\\det I=\\det{A^{-1}A}=\\det A^{-1}\\det A$，所以$\\det A^{-1}=\\frac{1}{\\det A}$。\n",
    "\n",
    "    同时还可以得到：$\\det A^2=(\\det A)^2$，以及$\\det 2A=2^n\\det A$，这个式子就像是求体积，对三维物体有每边翻倍则体积变为原来的八倍。\n",
    "\n",
    "10. $\\det A^T=\\det A$，前面一直在关注行的属性给行列式带来的变化，有了这条性质，行的属性同样适用于列，比如对性质2就有“交换列行列式变号”。\n",
    "    \n",
    "    证明：$\\left|A^T\\right|=\\left|A\\right|\\rightarrow\\left|U^TL^T\\right|=\\left|LU\\right|\\rightarrow\\left|U^T\\right|\\left|L^T\\right|=\\left|L\\right|\\left|U\\right|$，值得注意的是，$L, U$的行列式并不因为转置而改变，得证。"
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