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Jensen不等式

如果$$f: \omega->R$$是一个函数，则对于任何$$[{ x_i \in \Omega }]^{n}_{i=1}$$以及凸组合$$\sum_{i=1}^{n} w_ix_i$$都有

$$\sum_{i=1}^{n} w_if(x_i)>=f(\sum_{i=1}^{n} w_ix_i)$$

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拉格朗日对偶函数

$$L(x,\lambda ,v) = f_0(x)+\sum_{i=1}^{m}\lambda _if_i(x)+\sum_{i=1}^{P}v_ih_i(x)$$

根据拉个朗日函数，我们定义i拉格朗日对偶函数$$g(\lambda,v):R^{m+p}->R$$

$$x = y$$$$x = g(\lambda,v)=inf_{x \in D} L(x, \lambda, v)=inf_{x \in D} f_0(x)+\sum_{i=1}^{m}\lambda _if_i(x)+\sum_{i=1}^{P}v_ih_i(x)$$

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对偶问题：

最大化$$g(\lambda,v)$$

不等式条件：$$\lambda_i>=0$$![](/assets/touyuhua1.png)![](/assets/touyouhua2.png)![](/assets/touyouhua3.png)![](/assets/touyouhua4.png)![](/assets/touyouhua5.png)![](/assets/touyouhua6.png)

![](/assets/touyouhua7.png)![](/assets/touyouhua8.png)![](/assets/touyouhua9.png)![](/assets/touyouhua10.png)![](/assets/touyouhua11.png)