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<!DOCTYPE html>
<html lang="ja">
<head>
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<title>フーリエ級数の性質</title>
</head>
<body>
近似がうまくできること
<div style="padding: 10px; margin-bottom: 10px; border: 1px dotted #333333; text-align:center">
定義（ \( L_{2}(I) \)内積・ \( L_{2}(I) \)ノルム）
\[
(f,g)_{L_{2}(I)} := \int_a^b f(x)\overline{ g(x) } dx \\
\| f \|_{L_{2}(I)} := \sqrt{ \int_a^b |f(x)|^{2} dx }
\]
\(L^{2}\)ノルムは関数fの大きさを測るイメージ<br><br>
\(L^{2}\)内積はfとgの角度を測るイメージ<br>
\( (f,g)_{L^{2}(I)} := \int_a^b f(x)\overline{ g(x) } dx = 0 \) のとき、fとgは\(L^{2}\)において<b>直交</b>するという<br>
\( \varphi_{n}(x) := \frac{1}{ \sqrt{2\pi} }e^{inx} \) と定義するとき<br>
\( (\varphi_{m}, \varphi_{n})_{L^{2}(-\pi,\pi)} = \delta(m,n) (m,n \in \mathbb{Z} ) \) となり、関数列\( {f_{n}(x)}^{\infty}_{n=1} \)は\(L^{2}\)で<b>正規直交系</b>をなすという。<br>
注意<br>
たいてい「キレイ」な関数なのでルベーグ積分の値＝リーマン積分の値 となり、特別な問題でない限り、今まで通りリーマン積分で計算できる。<br>
正規直交基底と言わず、正規直交系と言ったのは、まだファイたちが基底になるかが現段階ではわからないから。<br>
\[
\varphi_{n}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{inx} であり\\
c_{n}[f] = \sqrt{2\pi}(f,\varphi_{n})_{L^{2}(-\pi,\pi)}と書けるので、 \\
S[f](x) = \Sigma^{\infty}_{n=-\infty}\sqrt{2\pi}c_{n}[f]\varphi_{n}(X) = \Sigma^{\infty}_{n=-\infty}(f,\varphi_{n})_{L^{2}(-\pi,\pi)}\varphi_{n}(x) \\
この式を見ると、いかにも\varphi_{n}がfの基底になりそうなのが分かる。（将来、定理よりfが区分的にC^{1}で連続なら、S[f](x)=f(x)が証明される）
\]
</div>
↓はよく使う不等式
<div style="padding: 10px; margin-bottom: 10px; border: 1px dotted #333333; text-align:center">
補題（コーシー・シュワルツの不等式）<br>
f,g:区分的連続<br>
\[
\begin{align}
|(f,g)_{L^{2}(I)}| \leq \| f \|_{L^{2}(I)} \| g \|_{L^{2}(I)} \\\\\
〜証明の方針〜 \\\
0 \leq \int_a^b | f(x) + te^{i\alpha}g(x) |^{2} dx \\
を式変形していくと、 \\
tに関する2次方程式となり、判別式を考えて解ける。
\end{align}
\]
また、この式より
\[
\|f + g \|_{L^{2}(I)} \leq \|f \|_{L^{2}(I)} + \|g \|_{L^{2}(I)}
\]
が導かれる（三角不等式）
</div>
fを三角関数系の線型結合で\(L^{2}\)ノルムを使って近似をする際、フーリエ係数が最良になる（\(L^{2}\)最良近似）
<div style="padding: 10px; margin-bottom: 10px; border: 1px dotted #333333; text-align:center">
任意のN（自然数）と任意の複素数列 \( \{d_{n} \}^{N}_{n=-N} \) に対して、<br>
\[
\begin{eqnarray}
\| f - \Sigma^{N}_{n=-N}\sqrt{2\pi}c_{n}[f]\varphi_{n} \|^{2}_{L^{2}(-\pi,\pi)} &\leq
\| f - \Sigma^{N}_{n=-N}\sqrt{2\pi}d_{n}[f]\varphi_{n} \|^{2}_{L^{2}(-\pi,\pi)} \\\\
2\pi\Sigma^{N}_{n=-N} |c_{n}[f]|^{2} &\leq \int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^{2} dx
\end{eqnarray}
\]
</div>
<a href="index.html">フーリエ級数の定義</a>
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