5-kangrae-jo

[kangrae-jo]

🔗 문제 링크

경쟁 배타의 원리

✔️ 소요된 시간

1h 43m

✨ 수도 코드

문제 해석

이 문제를 처음보고 왜 동적계획법으로 분류되어있는 문제인지 눈치채지 못했다.

그래서 처음풀이는 다음과 같았다.

입력을 받으며 (x1,y1), (x2,y2)로부터 결정되는 직사각형 구역을 모두 +1 한다.
2차원 배열을 모두 검사하며 field[y][x] == K 인 영역을 count한다.

그러나 시간복잡도에 문제가 있는 풀이라는 것을 알게되었다.
입력을 받을때 (x1,y1), (x2,y2)을 꼭짓점으로 가지는 직사각형의 크기만큼 덧셈하는 것을 N번 하고,
K인 영역을 검사할때 100,000^2번의 비교가 필요하기 때문이다.

그런데 도저히 생각해도 더 나은 시간복잡도를 가지는 풀이가 생각나지 않았다.
(여기까지 약 1시간 소요...)

결국 서칭을 했는데, 처음 보는 유형의 풀이가 발견되었다.

새로운 유형의 풀이 발견

1. 직사각형의 영역을 모두 +1 하는 대신, 다음과 같이 인코딩하기

좌상단, 우하단에 +1
좌하단, 우상단에 -1

이를 코드로 나타내면 다음과 같다.

�field[y1][x1] += 1
field[y1][x2] -= 1
field[y2][x1] -= 1
field[y2][x2] += 1

이렇게 하면 (x1,y1), (x2,y2)을 꼭짓점으로 가지는 직사각형에 대한 덧셈하는 것을 N번 할 필요가 없고, index 접근 4번을 N번 하면 된다.

2. 수평의 최대최소 범위와 수직의 최대최소 범위를 기록하기

minX = min(minX,x1);
minY = min(minY,y1);
maxX = max(maxX,x2);
maxY = max(maxY,y2);

이렇게 하면 100,000^2 번 비교하여 field[y][x] == K 를 구하지 않아도 된다.

1번 2번에 대한 구현은 간단하지만,
왜 그렇게 구현 했는지는 의아했습니다.
그런데 직접 시뮬레이션을 한 번 하니 이해가 좀 되었습니다.

1번 방식대로 field에 인코딩을 한다면 수평과 수직에서 각각
최소에서 최대까지 '누적합'알고리즘을 시행하면 field에는 몇개의 종이 겹치는지에 대한 정보가 남게 된다.

예를들어, (x1,y1), (x2,y2) = {(0,0), (3,3)}, {(1,2), (4,5) } 가 입력되었을 때,

이렇게 하는 것은 시간이 많이 들지만,

이렇게 인코딩하여 저장하는 것은 시간이 적게든다.

문제에서는 x1,x2,y1,y2중 1들은 닫힌 영역, 2들을 열린 영역으로 입력을 주는 것 같다.
왜냐하면 제일 처음 방법대로 쉽게 구현했을때 "시간초과"가 아닌 "틀린 답"이 떳는데,
네 꼭짓점의 좌표를 닫힌 좌표로 생각하고 풀었기 때문이다.

그 뒤 디코딩 하는 방법은 다음과 같다.

수평 누적합 수행

수직 누적합 수행

이러면 원래 우리가 원하는 상태가 되었다~

그 뒤 모든 2차원 공간을 탐색하지 않고,
아까 입력 때 구한 최대 최소 값을 구간으로 탐색하여

field[y][x] == K 의 개수를 찾아내고 출력하면 끝

📚 새롭게 알게된 내용

누적합을 이렇게 인코딩 형식으로 사용해본건 처음인 것 같네요.
이게 뭐지? 하면서 수평 누적합, 수직 누적합을 시행했는데, 디코딩 되는 과정이 신기하고 재밌었습니다.

그리고 문제에서 조건이 있었는데 제가 못 찾은 건지, 아니면 이런 문제들이 가끔 있는 건지 모르겠는데
아까 열린 구간 닫힌 구간 이런 것도 잘 생각 해봐야 할 것 같네요.
(개인적인 생각인데, dp로 분류되어 있는걸 보니까 누적합을 쉽게 적용하라고 저렇게 주는 것 같기도 하네요....)

참고 자료