Revisión de apuntes

JaviMaligno · Jul 16, 2018 · 4843a8f · 4843a8f
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diff --git a/ACGA/Problemas/Entrega 10.tex b/ACGA/Problemas/Entrega 10.tex
@@ -1,6 +1,6 @@
 \documentclass[twoside]{article}
 \usepackage{../../estilo-ejercicios}
-\DeclareMathOperator{\Ima}{Im}
+%\DeclareMathOperator{\Ima}{Im}
 
 %--------------------------------------------------------
 \begin{document}

diff --git a/ACGA/Problemas/Entrega 11.tex b/ACGA/Problemas/Entrega 11.tex
@@ -1,6 +1,6 @@
 \documentclass[twoside]{article}
 \usepackage{../../estilo-ejercicios}
-\DeclareMathOperator{\Ima}{Im}
+%\DeclareMathOperator{\Ima}{Im}
 \DeclareMathOperator{\Char}{char}
 %--------------------------------------------------------
 \begin{document}

diff --git a/ACGA/Problemas/Entrega 12.tex b/ACGA/Problemas/Entrega 12.tex
@@ -1,12 +1,12 @@
 \documentclass[twoside]{article}
 \usepackage{../../estilo-ejercicios}
-\DeclareMathOperator{\Ima}{Im}
+%\DeclareMathOperator{\Ima}{Im}
 \DeclareMathOperator{\Char}{char}
 %--------------------------------------------------------
 \begin{document}
 
 \title{Algebra Conmutativa y Geometría Algebraica}
-\author{Rafael González López,Javier Aguilar Martín,  Diego Pedraza López}
+\author{Rafael González López, Javier Aguilar Martín, Diego Pedraza López}
 \maketitle
 
 \begin{ejercicio}{1}

diff --git a/ACGA/Problemas/Entrega 6.tex b/ACGA/Problemas/Entrega 6.tex
@@ -1,6 +1,6 @@
 \documentclass[twoside]{article}
 \usepackage{../../estilo-ejercicios}
-\DeclareMathOperator{\Ima}{Im}
+%\DeclareMathOperator{\Ima}{Im}
 
 %--------------------------------------------------------
 \begin{document}

diff --git a/ACGA/Problemas/Entrega 7.tex b/ACGA/Problemas/Entrega 7.tex
@@ -1,6 +1,6 @@
 \documentclass[twoside]{article}
 \usepackage{../../estilo-ejercicios}
-\DeclareMathOperator{\Ima}{Im}
+%\DeclareMathOperator{\Ima}{Im}
 
 %--------------------------------------------------------
 \begin{document}

diff --git a/ACGA/Problemas/Entrega 8.tex b/ACGA/Problemas/Entrega 8.tex
@@ -1,6 +1,6 @@
 \documentclass[twoside]{article}
 \usepackage{../../estilo-ejercicios}
-\DeclareMathOperator{\Ima}{Im}
+%\DeclareMathOperator{\Ima}{Im}
 
 %--------------------------------------------------------
 \begin{document}

diff --git a/ACGA/Problemas/Entrega 9.tex b/ACGA/Problemas/Entrega 9.tex
@@ -1,6 +1,6 @@
 \documentclass[twoside]{article}
 \usepackage{../../estilo-ejercicios}
-\DeclareMathOperator{\Ima}{Im}
+%\DeclareMathOperator{\Ima}{Im}
 
 %--------------------------------------------------------
 \begin{document}

diff --git a/CV/Ejercicios/EjerciciosTema7.tex b/CV/Ejercicios/EjerciciosTema7.tex
@@ -92,6 +92,9 @@
  \[
  φ (x_1,\dots,x_{n+1}) = \left(\frac{x_1}{1-x_{n+1}},\dots,\frac{x_n}{1-x_{n+1}}\right)
  \]
- que es claramente diferenciable al componerla con cualquiera de las cartas de $S^n$ ya que todas las componetes son diferenciables. 
-
+ que es claramente diferenciable al componerla con cualquiera de las cartas de $S^n$ ya que todas las componetes son diferenciables. Además tiene como inversa
+ \[
+ \varphi^{-1}(y_1,\dots, y_n)=\left(\frac{2y_1}{1+\sum y_i^2},\dots,\frac{2y_{n-1}}{1+\sum y_i^2}, \frac{-1+\sum y_i^2}{1+\sum y_i^2}\right)
+ \]
+que también es diferenciable. 
 \end{document}
diff --git a/CV/Ejercicios/EjerciciosTema8.tex b/CV/Ejercicios/EjerciciosTema8.tex
@@ -56,54 +56,54 @@
 \end{solucion}
 \newpage
 
-\begin{ejercicio}{9.11}
-Sea $\varphi:M\to N$ una aplicación diferenciable entre variedades diferenciables. Probar que $\varphi^*:\Omega^*(N)\to\Omega^*(M)$ es un morfismo de complejos de cadenas.
-\end{ejercicio}
-\begin{solucion}
-Tenemos que probar que el siguiente diagrama es conmutativo 
-\[
-\begin{tikzcd}
-\Omega^k(N)\arrow[r,"d^k"]\arrow[d,"\varphi^*"] & \Omega^{k+1}(N)\arrow[d,"\varphi^*"]\\
-\Omega^k(M)\arrow[r, "d^k"] & \Omega^{k+1}(M)
-\end{tikzcd}
-\]
-para todo $k$. Sea $w\in\Omega^k(N)$. Elegimos $p\in M,q=\varphi(p)\in N$ y parametrizaciones locales $g:W\to M$ y $h:V\to N$. Tenemos por definición
-\[
-d_qw=Alt^{k+1}((D_yh)^{-1})d_y(h^*(w))=Alt^{k+1}(D_qh^{-1})d_y(h^*(w))
-\]
-donde $y$ cumple $h(y)=q=\varphi(p)$, así que
-\[
-\varphi^*(d_qw)_p=Alt^{k+1}(D_p\varphi)\circ Alt^{k+1}(D_qh^{-1})(d_yh^*(w))=
-\]
-\[
-Alt^{k+1}(D_qh^{-1}D_p\varphi)(d_yh^*(w))=Alt^{k+1}(D_ph^{-1}\varphi)(d_y(h^*(w)))=
-\]
+%\begin{ejercicio}{9.11}
+%Sea $\varphi:M\to N$ una aplicación diferenciable entre variedades diferenciables. Probar que $\varphi^*:\Omega^*(N)\to\Omega^*(M)$ es un morfismo de complejos de cadenas.
+%\end{ejercicio}
+%\begin{solucion}
+%Tenemos que probar que el siguiente diagrama es conmutativo 
 %\[
-%Alt^{k+1}(D_ph^{-1}\varphi)(d_yAlt^k(D_yh)(w_{h(y)})).
+%\begin{tikzcd}
+%\Omega^k(N)\arrow[r,"d^k"]\arrow[d,"\varphi^*"] & \Omega^{k+1}(N)\arrow[d,"\varphi^*"]\\
+%\Omega^k(M)\arrow[r, "d^k"] & \Omega^{k+1}(M)
+%\end{tikzcd}
 %\]
-%Ahora, por la conmutatividad de $d$ con $\Omega^k(h)$ a nivel de complejo de cocadenas de abiertos euclídeos, esto es igual a 
+%para todo $k$. Sea $w\in\Omega^k(N)$. Elegimos $p\in M,q=\varphi(p)\in N$ y parametrizaciones locales $g:W\to M$ y $h:V\to N$. Tenemos por definición
 %\[
-%Alt^{k+1}(D_ph^{-1}\varphi)Alt^{k+1}(D_yh)(d_q w_{\varphi(p)})=Alt^{k+1}(D_p\varphi)(d_yw_{\varphi(p)}).
+%d_qw=Alt^{k+1}((D_yh)^{-1})d_y(h^*(w))=Alt^{k+1}(D_qh^{-1})d_y(h^*(w))
 %\]
-% 
-Por otro lado, 
+%donde $y$ cumple $h(y)=q=\varphi(p)$, así que
 %\[
-%\varphi^*(w)_p=Alt^k(D_p\varphi)(w_{\varphi(p)}),
+%\varphi^*(d_qw)_p=Alt^{k+1}(D_p\varphi)\circ Alt^{k+1}(D_qh^{-1})(d_yh^*(w))=
 %\]
-%así que 
-eligiendo $x$ con  $g(x)=p$ tenemos
-\[
-d_p\varphi^*(w)=Alt^{k+1}((D_xg)^{-1})d_x(g^*(\varphi^*(w)))=
-\]
 %\[
-%Alt^{k+1}(D_xg^{-1})d_x(Alt^k(D_xg)\circ Alt^k(D_p\varphi)(w_{\varphi(p)}))=
+%Alt^{k+1}(D_qh^{-1}D_p\varphi)(d_yh^*(w))=Alt^{k+1}(D_ph^{-1}\varphi)(d_y(h^*(w)))=
 %\]
+%%\[
+%%Alt^{k+1}(D_ph^{-1}\varphi)(d_yAlt^k(D_yh)(w_{h(y)})).
+%%\]
+%%Ahora, por la conmutatividad de $d$ con $\Omega^k(h)$ a nivel de complejo de cocadenas de abiertos euclídeos, esto es igual a 
+%%\[
+%%Alt^{k+1}(D_ph^{-1}\varphi)Alt^{k+1}(D_yh)(d_q w_{\varphi(p)})=Alt^{k+1}(D_p\varphi)(d_yw_{\varphi(p)}).
+%%\]
+%% 
+%Por otro lado, 
+%%\[
+%%\varphi^*(w)_p=Alt^k(D_p\varphi)(w_{\varphi(p)}),
+%%\]
+%%así que 
+%eligiendo $x$ con  $g(x)=p$ tenemos
 %\[
-%Alt^{k+1}(D_xg^{-1})d_x(Alt^k(D_x\varphi g)(w_{\varphi(p)})=Alt^{k+1}(D_p\varphi)(d_x w_{\varphi(p)})
+%d_p\varphi^*(w)=Alt^{k+1}((D_xg)^{-1})d_x(g^*(\varphi^*(w)))=
 %\]
-
-SUPONGO QUE NO ME QUEDA MÁS REMEDIO QUE EVALUAR EN VECTORES
-\end{solucion}
+%%\[
+%%Alt^{k+1}(D_xg^{-1})d_x(Alt^k(D_xg)\circ Alt^k(D_p\varphi)(w_{\varphi(p)}))=
+%%\]
+%%\[
+%%Alt^{k+1}(D_xg^{-1})d_x(Alt^k(D_x\varphi g)(w_{\varphi(p)})=Alt^{k+1}(D_p\varphi)(d_x w_{\varphi(p)})
+%%\]
+%
+%SUPONGO QUE NO ME QUEDA MÁS REMEDIO QUE EVALUAR EN VECTORES
+%\end{solucion}
 
 \newpage
 

diff --git a/CV/lec5.tex b/CV/lec5.tex
@@ -58,7 +58,7 @@ \section{Definiciones}
 \end{lemma}
 \begin{proof}\
 \begin{enumerate}
-\item Usamos el lema A9 libro para aproximar $h$ mediante una función diferenciable $f:U\to V$. Podemos elegir $f$ de modo que $V$ contenga el segmento de $h(x)$ a $f(x)$ para todo $x\in U$. Entonces $h\simeq f$ por el ejemplo \ref{segmento}. 
+\item Usamos el lema A9 del libro para aproximar $h$ mediante una función diferenciable $f:U\to V$. Podemos elegir $f$ de modo que $V$ contenga el segmento de $h(x)$ a $f(x)$ para todo $x\in U$. Entonces $h\simeq f$ por el ejemplo \ref{segmento}. 
 \item Sea $G$ una homotopía de $f$ a $g$. Usamos una función continua $\psi:\R\to [0,1]$ con $\psi(t)=0$ para $t\leq\frac{1}{3}$ y $\psi(t)=1$ para $t\geq\frac{2}{3}$ para construir 
 \[
 H:U\times \R\to V; H(x,t)=G(x,\psi(t)).
@@ -239,7 +239,7 @@ \section{Definiciones}
 
 De la invarianza topológica (\ref{6.9}) y del del corolario \ref{6.13}, junto con 
 \[
-H^p(\R^1-\{0\}\cong\begin{cases}
+H^p(\R^1-\{0\})\cong\begin{cases}
 \R\oplus\R & p=0\\
 0 & p\neq 0
 \end{cases}

diff --git a/CV/lec6.tex b/CV/lec6.tex
@@ -206,7 +206,7 @@ \section{Separación e invarianza de dominio}
 W\arrow[ur, "i"]\arrow[r] & U_2\arrow[u]
 \end{tikzcd}
 \]
-y applicando $H^{n-1}$ obtenemos el diagrama conmutativo
+y aplicando $H^{n-1}$ obtenemos el diagrama conmutativo
 \[
 \begin{tikzcd}
 & H^{n-1}(\R^n-\{0\})\cong\R\arrow[dl, "H^{n-1}(i)"']\arrow[d]\\

diff --git a/MIOP/MIOP.tex b/MIOP/MIOP.tex
@@ -1,5 +1,6 @@
 \documentclass[twoside]{report}
 \usepackage{../estilo-apuntes}
+\usepackage{mathtools}
 \rhead{Métodos de Investigación Operativa (Grado en Matemáticas)}
 \lhead{Curso 2017/2018}
 

diff --git a/MIOP/Tema1.tex b/MIOP/Tema1.tex
@@ -1,5 +1,4 @@
 \documentclass[MIOP.tex]{subfiles}
-\usepackage{mathtools}
 %\usepackage{sagetex}
 \begin{document}
 
@@ -302,10 +301,10 @@ \subsection{Una reformulación alternativa}
 
 \[
 \begin{tikzpicture}
- 	\node[shape=rectangle,draw=black] (Z) at (-4,4) {$Etapa 1$};
- 	\node[shape=rectangle,draw=black] (Y) at (-1,4) {$Etapa 2$};
- 	\node[shape=rectangle,draw=black] (X) at (2,4) {$Etapa 3$};
- 	\node[shape=rectangle,draw=black] (W) at (5,4) {$Etapa 4$};
+ 	\node[shape=rectangle,draw=black] (Z) at (-4,4) {$Etapa\ 1$};
+ 	\node[shape=rectangle,draw=black] (Y) at (-1,4) {$Etapa\ 2$};
+ 	\node[shape=rectangle,draw=black] (X) at (2,4) {$Etapa\ 3$};
+ 	\node[shape=rectangle,draw=black] (W) at (5,4) {$Etapa\ 4$};
  	
     \node[shape=circle,draw=black] (A) at (-4,3) {$1,0$};
     \node[shape=circle,draw=black] (B) at (-1,3) {$2,0$};

diff --git a/MIOP/Tema2.tex b/MIOP/Tema2.tex
@@ -1,5 +1,5 @@
 \documentclass[MIOP.tex]{subfiles}
-\usepackage{mathtools}
+
 %\usepackage{sagetex}
 \begin{document}
 

diff --git a/MIOP/Tema3.tex b/MIOP/Tema3.tex
@@ -1,5 +1,5 @@
 \documentclass[MIOP.tex]{subfiles}
-\usepackage{mathtools}
+
 %\usepackage{sagetex}
 \begin{document}